Квадратичная функция: формулы

График $y=ax^2+bx+c$ — парабола. Вершина, нули и направление ветвей задают её полностью; по ним находят наибольшее или наименьшее значение и промежутки знакопостоянства.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ. Раздел: функции.

• $$y=ax^2+bx+c,\ a\ne0$$квадратичная функция; $D=\mathbb{R}$
• $$a>0$$ветви вверх, функция имеет наименьшее значение; $a<0$ — ветви вниз, функция имеет наибольшее значение
• $$x_0=-\dfrac{b}{2a}$$абсцисса вершины и ось симметрии параболы $x=x_0$
• $$y_0=y(x_0)=c-\dfrac{b^2}{4a}=-\dfrac{D}{4a}$$ордината вершины, $D=b^2-4ac$
• $$y=a(x-x_0)^2+y_0$$вершинная форма: сдвиг параболы $y=ax^2$ на $x_0$ по $Ox$ и на $y_0$ по $Oy$
• $$D=b^2-4ac$$дискриминант; $D>0$ — два нуля, $D=0$ — один (парабола касается $Ox$), $D<0$ — нулей нет
• $$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$нули функции; $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\ x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ (теорема Виета)
• $$y=a(x-x_1)(x-x_2)$$форма с нулями; абсцисса вершины $x_0=\dfrac{x_1+x_2}{2}$
• $$y(0)=c$$точка пересечения с осью $Oy$ — $(0;\,c)$
• $$a>0:\ y_{\min}=y_0;\quad a<0:\ y_{\max}=y_0$$наименьшее (наибольшее) значение функции; $E=[y_0;\,+\infty)$ при $a>0$, $(-\infty;\,y_0]$ при $a<0$
• $$y_{\max},\ y_{\min}\in\{y(m),\ y(n),\ y_0\}$$на отрезке $[m;\,n]$ наибольшее и наименьшее значения ищут среди значений на концах и в вершине (если $x_0\in[m;\,n]$)
• $$a>0:\ y\downarrow\ \text{на}\ (-\infty;\,x_0],\quad y\uparrow\ \text{на}\ [x_0;\,+\infty)$$монотонность при $a>0$; при $a<0$ наоборот
• $$a>0,\ D<0\Rightarrow ax^2+bx+c>0\ \forall x$$парабола целиком выше оси $Ox$; при $a<0$, $D<0$ — ниже
• $$b=0$$вершина на оси $Oy$, функция чётная; $c=0$ — парабола проходит через начало координат
• $$f(x_0+t)=f(x_0-t)$$симметрия относительно вершины: значения на равных расстояниях от оси совпадают ОГЭ
• $$y_i=ax_i^2+bx_i+c,\ i=1,2,3$$коэффициенты параболы по трём её точкам: получают систему для $a$, $b$, $c$ ОГЭ, ЕГЭ профиль
• $$y=|ax^2+bx+c|$$часть параболы под осью $Ox$ отражается вверх ЕГЭ профиль