Задание 11 ОГЭ по математике: графики функций

Формулы к заданию 11

Свойства функций

• $D(f)$ — область определения: все $x$, при которых выражение имеет смысл; $E(f)$ — множество значений функции
• $\dfrac{1}{g(x)}\colon g(x)\ne0;\quad \sqrt{g(x)}\colon g(x)\ge0$ — ОДЗ дроби и квадратного корня
• $f(x_0)=0$ — нуль функции: абсцисса точки пересечения графика с осью $Ox$; пересечение с $Oy$ — точка $(0;\,f(0))$
• $f(x)>0$ — график лежит выше оси $Ox$; $f(x)<0$ — ниже: так находят промежутки знакопостоянства
• $f(x)\le f(x_0),\ x\in(x_0-\delta;\,x_0+\delta)$ — $x_0$ — точка максимума; при $f(x)\ge f(x_0)$ — точка минимума

Графики функций

• $y=kx+b$ — прямая: $k$ — угловой коэффициент, $b$ — точка пересечения с осью $Oy$
• $k_1=k_2,\ b_1\ne b_2$ — прямые $y=k_1x+b_1$ и $y=k_2x+b_2$ параллельны
• $y=ax^2+bx+c$ — парабола: ветви вверх при $a>0$, вниз при $a<0$
• $x_0=-\dfrac{b}{2a},\quad y_0=y(x_0)$ — координаты вершины параболы
• $y=\dfrac{k}{x}$ — гипербола: при $k>0$ ветви в I и III четвертях, при $k<0$ — во II и IV

Линейная функция

• $y=kx+b$ — линейная функция; $D=\mathbb{R}$; $k$ — угловой коэффициент, $b$ — ордината точки пересечения с $Oy$
• $k>0$ — функция возрастает, $k<0$ — убывает, $k=0$ — постоянная $y=b$ (горизонтальная прямая)
• $k=\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ — угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к оси $Ox$
• $k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ — угловой коэффициент по двум точкам $(x_1;\,y_1)$, $(x_2;\,y_2)$, $x_1\ne x_2$
• $y-y_1=k\,(x-x_1)$ — прямая через точку $(x_1;\,y_1)$ с угловым коэффициентом $k$

Квадратичная функция

• $y=ax^2+bx+c,\ a\ne0$ — квадратичная функция; $D=\mathbb{R}$
• $a>0$ — ветви вверх, функция имеет наименьшее значение; $a<0$ — ветви вниз, функция имеет наибольшее значение
• $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ — абсцисса вершины и ось симметрии параболы $x=x_0$
• $y_0=y(x_0)=c-\dfrac{b^2}{4a}=-\dfrac{D}{4a}$ — ордината вершины, $D=b^2-4ac$
• $y=a(x-x_0)^2+y_0$ — вершинная форма: сдвиг параболы $y=ax^2$ на $x_0$ по $Ox$ и на $y_0$ по $Oy$

Степенные функции, корень, гипербола

• $y=x^2$ — парабола: $D=\mathbb{R}$, $E=[0;\,+\infty)$, чётная; убывает на $(-\infty;\,0]$, возрастает на $[0;\,+\infty)$
• $y=\sqrt{x}$ — $D=E=[0;\,+\infty)$, возрастает; график — верхняя ветвь параболы $x=y^2$
• $y=\dfrac{k}{x}$ — обратная пропорциональность: $D=E=(-\infty;\,0)\cup(0;\,+\infty)$, нечётная, график — гипербола с асимптотами $x=0$, $y=0$
• $k>0$ — ветви гиперболы $y=\dfrac{k}{x}$ в I и III четвертях, функция убывает на каждом из промежутков; $k<0$ — во II и IV, функция возрастает на каждом промежутке
• $y=\dfrac{k}{x-a}+b$ — гипербола со сдвигом: асимптоты $x=a$ и $y=b$, центр симметрии $(a;\,b)$

Преобразования графиков

• $y=f(x-a)$ — сдвиг графика $y=f(x)$ вдоль $Ox$ на $a$ вправо (при $a<0$ — влево)
• $y=f(x)+b$ — сдвиг вдоль $Oy$ на $b$ вверх (при $b<0$ — вниз)
• $y=f(x-a)+b$ — сдвиг на вектор $(a;\,b)$; вершина параболы $y=x^2$ переходит в $(a;\,b)$
• $y=-f(x)$ — симметрия графика относительно оси $Ox$
• $y=f(-x)$ — симметрия графика относительно оси $Oy$

Примеры с решениями

Условия — в стиле заданий ФИПИ. Сначала попробуйте решить сами, потом откройте подсказки и решение.