Задание 11 ЕГЭ профиль по математике: графики функций

Формулы к заданию 11

Графики и свойства sin, cos, tg, ctg

• $D(\sin)=D(\cos)=\mathbb{R},\quad E(\sin)=E(\cos)=[-1;\,1]$ — область определения и значений синуса и косинуса
• $D(\operatorname{tg})\colon x\ne\dfrac{\pi}{2}+\pi k;\quad D(\operatorname{ctg})\colon x\ne\pi k;\quad E=\mathbb{R}$ — область определения и значений тангенса и котангенса
• $T(\sin)=T(\cos)=2\pi,\quad T(\operatorname{tg})=T(\operatorname{ctg})=\pi$ — наименьшие положительные периоды
• $y=A\sin(\omega x+\varphi)+B$ — гармоника: период $T=\dfrac{2\pi}{|\omega|}$, амплитуда $|A|$, множество значений $[B-|A|;\,B+|A|]$
• $T(\operatorname{tg}(\omega x))=\dfrac{\pi}{|\omega|}$ — период тангенса и котангенса с коэффициентом $\omega$

Свойства функций

• $D(f)$ — область определения: все $x$, при которых выражение имеет смысл; $E(f)$ — множество значений функции
• $\dfrac{1}{g(x)}\colon g(x)\ne0;\quad \sqrt{g(x)}\colon g(x)\ge0$ — ОДЗ дроби и квадратного корня
• $\log_a g(x)\colon g(x)>0,\ a>0,\ a\ne1;\quad \operatorname{tg}x\colon x\ne\dfrac{\pi}{2}+\pi k$ — ОДЗ логарифма и тангенса
• $f(x_0)=0$ — нуль функции: абсцисса точки пересечения графика с осью $Ox$; пересечение с $Oy$ — точка $(0;\,f(0))$
• $f(x)>0$ — график лежит выше оси $Ox$; $f(x)<0$ — ниже: так находят промежутки знакопостоянства

Графики функций

• $y=kx+b$ — прямая: $k$ — угловой коэффициент, $b$ — точка пересечения с осью $Oy$
• $k_1=k_2,\ b_1\ne b_2$ — прямые $y=k_1x+b_1$ и $y=k_2x+b_2$ параллельны
• $y=ax^2+bx+c$ — парабола: ветви вверх при $a>0$, вниз при $a<0$
• $x_0=-\dfrac{b}{2a},\quad y_0=y(x_0)$ — координаты вершины параболы
• $y=\dfrac{k}{x}$ — гипербола: при $k>0$ ветви в I и III четвертях, при $k<0$ — во II и IV

Линейная функция

• $y=kx+b$ — линейная функция; $D=\mathbb{R}$; $k$ — угловой коэффициент, $b$ — ордината точки пересечения с $Oy$
• $k>0$ — функция возрастает, $k<0$ — убывает, $k=0$ — постоянная $y=b$ (горизонтальная прямая)
• $k=\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ — угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к оси $Ox$
• $k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ — угловой коэффициент по двум точкам $(x_1;\,y_1)$, $(x_2;\,y_2)$, $x_1\ne x_2$
• $y-y_1=k\,(x-x_1)$ — прямая через точку $(x_1;\,y_1)$ с угловым коэффициентом $k$

Квадратичная функция

• $y=ax^2+bx+c,\ a\ne0$ — квадратичная функция; $D=\mathbb{R}$
• $a>0$ — ветви вверх, функция имеет наименьшее значение; $a<0$ — ветви вниз, функция имеет наибольшее значение
• $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ — абсцисса вершины и ось симметрии параболы $x=x_0$
• $y_0=y(x_0)=c-\dfrac{b^2}{4a}=-\dfrac{D}{4a}$ — ордината вершины, $D=b^2-4ac$
• $y=a(x-x_0)^2+y_0$ — вершинная форма: сдвиг параболы $y=ax^2$ на $x_0$ по $Ox$ и на $y_0$ по $Oy$

Степенные функции, корень, гипербола

• $y=x^2$ — парабола: $D=\mathbb{R}$, $E=[0;\,+\infty)$, чётная; убывает на $(-\infty;\,0]$, возрастает на $[0;\,+\infty)$
• $y=x^{2n}$ — чётная степень: график похож на параболу, проходит через $(0;\,0)$, $(\pm1;\,1)$; $E=[0;\,+\infty)$
• $y=x^3$ — кубическая парабола: $D=E=\mathbb{R}$, нечётная, возрастает на всей оси
• $y=x^{2n+1}$ — нечётная степень: возрастает, симметрия относительно начала координат; $E=\mathbb{R}$
• $y=\sqrt{x}$ — $D=E=[0;\,+\infty)$, возрастает; график — верхняя ветвь параболы $x=y^2$

Показательная и логарифмическая функции

• $y=a^x,\ a>0,\ a\ne1$ — показательная функция: $D=\mathbb{R}$, $E=(0;\,+\infty)$; график проходит через $(0;\,1)$ и $(1;\,a)$
• $a>1$ — функция $a^x$ возрастает; $0<a<1$ — убывает
• $y=0$ — горизонтальная асимптота графика $y=a^x$ (график не пересекает ось $Ox$)
• $y=e^x,\quad e\approx2{,}718$ — экспонента: основание — число $e$; $e^x$ возрастает
• $y=\log_ax,\ a>0,\ a\ne1$ — логарифмическая функция: $D=(0;\,+\infty)$, $E=\mathbb{R}$; график проходит через $(1;\,0)$ и $(a;\,1)$

Преобразования графиков

• $y=f(x-a)$ — сдвиг графика $y=f(x)$ вдоль $Ox$ на $a$ вправо (при $a<0$ — влево)
• $y=f(x)+b$ — сдвиг вдоль $Oy$ на $b$ вверх (при $b<0$ — вниз)
• $y=f(x-a)+b$ — сдвиг на вектор $(a;\,b)$; вершина параболы $y=x^2$ переходит в $(a;\,b)$
• $y=-f(x)$ — симметрия графика относительно оси $Ox$
• $y=f(-x)$ — симметрия графика относительно оси $Oy$

Касательная к графику

• $k=f'(x_0)$ — угловой коэффициент касательной к графику $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$
• $k=\operatorname{tg}\alpha$ — $\alpha$ — угол между касательной и положительным направлением оси $Ox$; $\alpha$ острый $\Rightarrow k>0$, тупой $\Rightarrow k<0$
• $k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ — угловой коэффициент находят по двум точкам касательной на графике (по клеткам)
• $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ — уравнение касательной в точке $x_0$
• $f'(x_0)=0$ — касательная параллельна оси $Ox$ (горизонтальна): $y=f(x_0)$

Примеры с решениями

Условия — в стиле заданий ФИПИ. Сначала попробуйте решить сами, потом откройте подсказки и решение.