Графики и свойства sin, cos, tg, ctg: формулы

Синус и косинус — ограниченные периодические функции с периодом $2\pi$; тангенс и котангенс — с периодом $\pi$ и вертикальными асимптотами. График косинуса — график синуса, сдвинутый влево на $\dfrac{\pi}{2}$.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база. Раздел: тригонометрия.

• $$D(\sin)=D(\cos)=\mathbb{R},\quad E(\sin)=E(\cos)=[-1;\,1]$$область определения и значений синуса и косинуса
• $$D(\operatorname{tg})\colon x\ne\dfrac{\pi}{2}+\pi k;\quad D(\operatorname{ctg})\colon x\ne\pi k;\quad E=\mathbb{R}$$область определения и значений тангенса и котангенса
• $$T(\sin)=T(\cos)=2\pi,\quad T(\operatorname{tg})=T(\operatorname{ctg})=\pi$$наименьшие положительные периоды
• $$y=A\sin(\omega x+\varphi)+B$$гармоника: период $T=\dfrac{2\pi}{|\omega|}$, амплитуда $|A|$, множество значений $[B-|A|;\,B+|A|]$
• $$T(\operatorname{tg}(\omega x))=\dfrac{\pi}{|\omega|}$$период тангенса и котангенса с коэффициентом $\omega$
• $$\cos x=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$$график косинуса получается сдвигом графика синуса влево на $\dfrac{\pi}{2}$
• $$\sin(-x)=-\sin x, \operatorname{tg}(-x)=-\operatorname{tg}x, \cos(-x)=\cos x$$синус, тангенс, котангенс нечётны (график симметричен относительно начала координат), косинус чётен (относительно оси $Oy$)
• $$\sin x=0 \iff x=\pi k,\quad \cos x=0 \iff x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$$нули синуса и косинуса
• $$\sin x=1 \iff x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\quad \sin x=-1 \iff x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$$наибольшее и наименьшее значения синуса
• $$\cos x=1 \iff x=2\pi k,\quad \cos x=-1 \iff x=\pi+2\pi k$$наибольшее и наименьшее значения косинуса
• $$\sin x\uparrow \text{на} \left[-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k;\ \dfrac{\pi}{2}+2\pi k\right],\quad \sin x\downarrow \text{на} \left[\dfrac{\pi}{2}+2\pi k;\ \dfrac{3\pi}{2}+2\pi k\right]$$монотонность синуса
• $$\cos x\downarrow \text{на} [2\pi k;\ \pi+2\pi k],\quad \cos x\uparrow \text{на} [\pi+2\pi k;\ 2\pi+2\pi k]$$монотонность косинуса
• $$\operatorname{tg}x\uparrow \text{на} \left(-\dfrac{\pi}{2}+\pi k;\ \dfrac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad \operatorname{ctg}x\downarrow \text{на} (\pi k;\ \pi+\pi k)$$монотонность тангенса и котангенса на интервалах области определения
• $$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k$$вертикальные асимптоты тангенса; $x=\pi k$ — вертикальные асимптоты котангенса
• $$\sin x\ge0 \iff x\in[2\pi k;\ \pi+2\pi k],\quad \cos x\ge0 \iff x\in\left[-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k;\ \dfrac{\pi}{2}+2\pi k\right]$$промежутки неотрицательности ЕГЭ профиль
• $$|\sin x|\le|x|$$оценка; равенство только при $x=0$ ЕГЭ профиль
• $$y=a\sin x+b\cos x$$гармоника с амплитудой $\sqrt{a^2+b^2}$: наибольшее значение $\sqrt{a^2+b^2}$, наименьшее $-\sqrt{a^2+b^2}$ ЕГЭ профиль