Арксинус, арккосинус, арктангенс: формулы

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс — это углы из определённых промежутков, по которым найдено значение функции. Они нужны, чтобы записывать корни простейших уравнений.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база. Раздел: тригонометрия.

• $$\arcsin a=\alpha \iff \sin\alpha=a,\ \alpha\in\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$$арксинус, $|a|\le1$
• $$\arccos a=\alpha \iff \cos\alpha=a,\ \alpha\in[0;\pi]$$арккосинус, $|a|\le1$
• $$\operatorname{arctg}a=\alpha \iff \operatorname{tg}\alpha=a,\ \alpha\in\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$$арктангенс, $a\in\mathbb{R}$
• $$\operatorname{arcctg}a=\alpha \iff \operatorname{ctg}\alpha=a,\ \alpha\in(0;\pi)$$арккотангенс, $a\in\mathbb{R}$ ЕГЭ профиль
• $$\arcsin(-a)=-\arcsin a,\quad \operatorname{arctg}(-a)=-\operatorname{arctg}a$$арксинус и арктангенс нечётны
• $$\arccos(-a)=\pi-\arccos a,\quad \operatorname{arcctg}(-a)=\pi-\operatorname{arcctg}a$$арккосинус и арккотангенс отрицательного аргумента
• $$\arcsin a+\arccos a=\dfrac{\pi}{2}$$связь арксинуса и арккосинуса, $|a|\le1$
• $$\operatorname{arctg}a+\operatorname{arcctg}a=\dfrac{\pi}{2}$$связь арктангенса и арккотангенса ЕГЭ профиль
• $$\sin(\arcsin a)=a,\ \cos(\arccos a)=a\ (|a|\le1),\quad \operatorname{tg}(\operatorname{arctg}a)=a$$функция от обратной функции
• $$\arcsin(\sin x)=x,\ x\in\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$$в остальных случаях $x$ сначала приводят в этот промежуток: $\arcsin\left(\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{\pi}{3}$
• $$\cos(\arcsin a)=\sqrt{1-a^2},\quad \sin(\arccos a)=\sqrt{1-a^2}$$корень берётся со знаком «+», так как угол лежит в $[0;\pi]$ и $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$ ЕГЭ профиль
• $$\arcsin0=0,\ \arcsin\dfrac12=\dfrac{\pi}{6},\ \arcsin\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{\pi}{4},\ \arcsin\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\pi}{3},\ \arcsin1=\dfrac{\pi}{2}$$таблица арксинуса
• $$\arccos0=\dfrac{\pi}{2},\ \arccos\dfrac12=\dfrac{\pi}{3},\ \arccos\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{\pi}{4},\ \arccos\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\pi}{6},\ \arccos1=0$$таблица арккосинуса
• $$\operatorname{arctg}0=0,\ \operatorname{arctg}\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{\pi}{6},\ \operatorname{arctg}1=\dfrac{\pi}{4},\ \operatorname{arctg}\sqrt3=\dfrac{\pi}{3}$$таблица арктангенса
• $$\arcsin(-1)=-\dfrac{\pi}{2},\quad \arccos(-1)=\pi,\quad \arccos\left(-\dfrac12\right)=\dfrac{2\pi}{3}$$примеры отрицательных аргументов
• $$\operatorname{tg}(\arcsin a)=\dfrac{a}{\sqrt{1-a^2}}$$выражение через алгебраическую дробь, $|a|<1$ ЕГЭ профиль