Производная: формулы

Производная — скорость изменения функции и угловой коэффициент касательной. Где $f'>0$, функция возрастает; в точках смены знака $f'$ — экстремумы. Формулы дифференцирования нужны только на профильном ЕГЭ.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база. Раздел: функции.

• $$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$определение производной в точке: предел отношения приращения функции к приращению аргумента ЕГЭ профиль
• $$f'(x_0)=\operatorname{tg}\alpha=k$$геометрический смысл: угловой коэффициент касательной к графику в точке $x_0$
• $$v(t)=x'(t),\quad a(t)=v'(t)=x''(t)$$физический смысл: скорость — производная координаты, ускорение — производная скорости ЕГЭ профиль
• $$f'>0\Rightarrow f\uparrow,\quad f'<0\Rightarrow f\downarrow$$признак монотонности: где производная положительна, функция возрастает; где отрицательна — убывает
• $$C'=0,\quad x'=1,\quad (x^n)'=nx^{n-1}$$константа и степень ЕГЭ профиль
• $$(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}},\quad \left(\dfrac1x\right)'=-\dfrac{1}{x^2}$$корень и обратная величина, $x>0$ и $x\ne0$ соответственно ЕГЭ профиль
• $$(\sqrt[n]{x})'=\dfrac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$$корень $n$-й степени как $x^{1/n}$ ЕГЭ профиль
• $$(e^x)'=e^x,\quad (a^x)'=a^x\ln a$$показательная функция, $a>0$ ЕГЭ профиль
• $$(\ln x)'=\dfrac1x,\quad (\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a}$$логарифм, $x>0$; $(\ln|x|)'=\dfrac1x$ при $x\ne0$ ЕГЭ профиль
• $$(\sin x)'=\cos x,\quad (\cos x)'=-\sin x$$синус и косинус ЕГЭ профиль
• $$(\operatorname{tg}x)'=\dfrac{1}{\cos^2x},\quad (\operatorname{ctg}x)'=-\dfrac{1}{\sin^2x}$$тангенс и котангенс на области определения ЕГЭ профиль
• $$(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad (\arccos x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}},\quad |x|<1$$арксинус и арккосинус ЕГЭ профиль
• $$(\operatorname{arctg}x)'=\dfrac{1}{1+x^2},\quad (\operatorname{arcctg}x)'=-\dfrac{1}{1+x^2}$$арктангенс и арккотангенс ЕГЭ профиль
• $$(u\pm v)'=u'\pm v',\quad (Cu)'=Cu'$$сумма и постоянный множитель ЕГЭ профиль
• $$(uv)'=u'v+uv'$$производная произведения ЕГЭ профиль
• $$\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$$производная частного, $v\ne0$ ЕГЭ профиль
• $$\big(f(g(x))\big)'=f'(g(x))\cdot g'(x)$$сложная функция: производная внешней в точке $g(x)$ на производную внутренней ЕГЭ профиль
• $$\big(f(kx+b)\big)'=k\,f'(kx+b)$$частный случай сложной функции ЕГЭ профиль
• $$(x^2)'=2x,\ (x^3)'=3x^2,\ (kx+b)'=k$$частые случаи; линейная функция имеет постоянную производную ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$\big(\sqrt{u}\big)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}},\quad (e^{u})'=u'e^{u},\quad (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$$частые сложные функции ЕГЭ профиль
• $$f'(x_0)=0$$необходимое условие экстремума; точки, где производная равна нулю или не существует, называются критическими ЕГЭ профиль