Чтение графика производной: формулы

По графику $y=f'(x)$ определяют, где функция $f$ возрастает и убывает и где у неё экстремумы. Важно, что именно нарисовано: график функции или график её производной.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база. Раздел: функции.

• $$f'(x)>0$$график $f'$ выше оси $Ox$: функция $f$ возрастает на этом промежутке
• $$f'(x)<0$$график $f'$ ниже оси $Ox$: функция $f$ убывает на этом промежутке
• $$f'(x_0)=0$$график $f'$ пересекает ось $Ox$ или касается её: $x_0$ — критическая точка функции $f$
• $$f'\colon{+}\to{-}$$производная меняет знак с «+» на «−»: $x_0$ — точка максимума функции $f$
• $$f'\colon{-}\to{+}$$производная меняет знак с «−» на «+»: $x_0$ — точка минимума функции $f$
• $$f'(x_0)=0,\ f'\ \text{не меняет знак}$$график $f'$ касается оси $Ox$: $x_0$ не точка экстремума
• $$N=\text{число пересечений } f' \text{ с осью } Ox$$число точек экстремума равно числу точек, где $f'$ меняет знак (касание оси не считается)
• $$\max f'(x)$$наибольшая скорость возрастания функции $f$ — в самой высокой точке графика $f'$
• $$f'(x_0)=\operatorname{tg}\alpha=k$$по графику $f$ производная в точке — угловой коэффициент касательной (находят по клеткам) ЕГЭ база
• $$f'(x_0)=k$$число касательных, параллельных прямой с угловым коэффициентом $k$, равно числу точек пересечения графика $f'$ с прямой $y=k$ ЕГЭ профиль
• $$f'\uparrow$$если $f'$ возрастает на промежутке, график $f$ там выпуклый вниз («чаша»); если убывает — выпуклый вверх ЕГЭ профиль
• $$x\in[a;\,b]$$концы отрезка не считаются точками экстремума: экстремумы ищут только внутри ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$f(x_{\max}),\ f(x_{\min})$$значения функции в точках экстремума находят по графику $f$, а не $f'$ ЕГЭ профиль
• $$f'(x)\ge0,\ x\in(a;\,b)$$функция не убывает на $(a;\,b)$; целые точки в промежутке возрастания считают по оси $Ox$ ЕГЭ профиль, ЕГЭ база