Векторы на плоскости: формулы

Действия с векторами, скалярное произведение и угол между векторами. Пространственные формулы вынесены в лист «Координаты и векторы в пространстве».

Подходит для: ЕГЭ профиль, ОГЭ. Раздел: геометрия.

• $$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A)$$координаты вектора
• $$|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2}$$длина вектора; в пространстве добавляется $z^2$
• $$\vec a\pm\vec b=(x_1\pm x_2;\ y_1\pm y_2),\quad k\vec a=(kx;\ ky)$$сумма, разность, умножение на число
• $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$$правило треугольника; $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ — правило параллелограмма $ABCD$
• $$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$$разность векторов с общим началом идёт от вычитаемого к уменьшаемому
• $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$$в параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны задают равные векторы
• $$|k\vec a|=|k|\,|\vec a|$$длина вектора при умножении на число; при $k>0$ вектор сонаправлен с $\vec a$, при $k<0$ противоположно направлен
• $$\vec e=\dfrac{\vec a}{|\vec a|}$$единичный вектор того же направления
• $$\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2$$скалярное произведение в координатах
• $$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi$$скалярное произведение через угол; $\vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2$
• $$\cos\varphi=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}$$угол между векторами
• $$\vec a\perp\vec b \iff \vec a\cdot\vec b=0$$условие перпендикулярности
• $$\vec a\parallel\vec b \iff \dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{y_1}{y_2}$$условие коллинеарности ($\vec a=\lambda\vec b$)
• $$|\vec a\pm\vec b|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2\pm2\,\vec a\cdot\vec b$$квадрат длины суммы и разности векторов
• $$(\vec a+\vec b)(\vec a-\vec b)=|\vec a|^2-|\vec b|^2$$формула разности квадратов для скалярного произведения
• $$\overrightarrow{AM}=\dfrac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$$вектор медианы $AM$ треугольника $ABC$
• $$\overrightarrow{OG}=\dfrac13\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)$$точка пересечения медиан $G$ через векторы от любой точки $O$ ЕГЭ профиль
• $$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$$скалярное произведение через стороны треугольника ЕГЭ профиль
• $$\text{пр}_{\vec b}\vec a=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec b|}$$проекция вектора $\vec a$ на направление $\vec b$ ЕГЭ профиль
• $$\vec a=x\,\vec e_1+y\,\vec e_2$$разложение по двум неколлинеарным векторам (базису), коэффициенты определяются единственным образом ЕГЭ профиль