Треугольники: формулы

Сумма углов, теоремы Пифагора, синусов и косинусов, подобие и свойства биссектрисы, медианы и высоты решают большинство задач о треугольниках.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ. Раздел: геометрия.

• $$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$$сумма углов треугольника; внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним
• $$c^2=a^2+b^2$$теорема Пифагора, $c$ — гипотенуза
• $$\sin A=\dfrac{a}{c},\ \cos A=\dfrac{b}{c},\ \operatorname{tg}A=\dfrac{a}{b}$$прямоугольный треугольник: $a$ — противолежащий, $b$ — прилежащий катет
• $$\sin30^\circ=\cos60^\circ=\dfrac12,\quad \sin45^\circ=\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2},\quad \sin60^\circ=\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$$синус и косинус углов $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$
• $$\operatorname{tg}30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{3},\quad \operatorname{tg}45^\circ=1,\quad \operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$$тангенс углов $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$
• $$\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\quad \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$$синус и косинус тупого угла; нужны в теоремах синусов и косинусов
• $$h^2=a_c\cdot b_c,\quad a^2=c\cdot a_c$$высота к гипотенузе и проекции катетов $a_c$, $b_c$
• $$m_c=\dfrac{c}{2}$$медиана к гипотенузе равна её половине
• $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$теорема косинусов
• $$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$$теорема синусов, $R$ — радиус описанной окружности
• $$\dfrac{AL}{LC}=\dfrac{AB}{BC}$$биссектриса $BL$ делит сторону в отношении прилежащих сторон
• $$AM:MM_1=2:1$$медианы пересекаются и делятся точкой пересечения в отношении $2:1$, считая от вершины
• $$MN\parallel AC,\quad MN=\dfrac{AC}{2}$$средняя линия треугольника
• $$\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}=k,\quad \dfrac{S_1}{S_2}=k^2$$подобные треугольники: стороны пропорциональны, площади относятся как $k^2$
• $$a<b+c$$неравенство треугольника; против большей стороны лежит больший угол
• $$\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$следствие теоремы косинусов: угол по трём сторонам
• $$a=2R\sin A$$сторона через противолежащий угол и радиус описанной окружности; сторона, лежащая против угла $30^\circ$, равна $R$
• $$h=\sqrt{b^2-\dfrac{a^2}{4}}$$высота равнобедренного треугольника к основанию $a$, $b$ — боковая сторона
• $$h=\dfrac{a\sqrt3}{2}$$высота (она же медиана и биссектриса) равностороннего треугольника со стороной $a$