Задание 10 ЕГЭ база по математике: практическая планиметрия

Формулы к заданию 10

Треугольники

• $\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$ — сумма углов треугольника; внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним
• $c^2=a^2+b^2$ — теорема Пифагора, $c$ — гипотенуза
• $\sin A=\dfrac{a}{c},\ \cos A=\dfrac{b}{c},\ \operatorname{tg}A=\dfrac{a}{b}$ — прямоугольный треугольник: $a$ — противолежащий, $b$ — прилежащий катет
• $\sin30^\circ=\cos60^\circ=\dfrac12,\quad \sin45^\circ=\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2},\quad \sin60^\circ=\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}$ — синус и косинус углов $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$
• $\operatorname{tg}30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{3},\quad \operatorname{tg}45^\circ=1,\quad \operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$ — тангенс углов $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$

Площади фигур

• $S=\dfrac12 ah$ — площадь треугольника через сторону и высоту
• $S=\dfrac12 ab\sin C$ — площадь треугольника через две стороны и угол между ними
• $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ — формула Герона, $p$ — полупериметр
• $S=\dfrac12 ab$ — прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$
• $S=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$ — равносторонний треугольник

Фигуры на клетчатой бумаге

• $S=B+\dfrac{\Gamma}{2}-1$ — формула Пика для многоугольника с вершинами в узлах: $B$ — узлы строго внутри, $\Gamma$ — узлы на границе (включая вершины)
• $S=S_{\text{прямоуг.}}-S_1-S_2-S_3$ — площадь «косого» треугольника: достроить до прямоугольника и вычесть три прямоугольных треугольника
• $S=\dfrac12 ah$ — треугольник: основание и высота идут по линиям сетки
• $d=\sqrt{m^2+n^2}$ — длина отрезка между узлами, смещённого на $m$ клеток по горизонтали и на $n$ по вертикали
• $\sqrt2$ — диагональ клетки; $\sqrt5$ — «ход коня» ($1\times2$); $5$ — диагональ прямоугольника $3\times4$

Примеры с решениями

Условия — в стиле заданий ФИПИ. Сначала попробуйте решить сами, потом откройте подсказки и решение.