Фигуры на клетчатой бумаге: формулы

Площади, длины и углы на клетчатой бумаге находят достраиванием до прямоугольника, формулой Пика или теоремой Пифагора по узлам сетки. Если клетка не единичная, площадь умножают на квадрат стороны клетки.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ. Раздел: геометрия.

• $$S=B+\dfrac{\Gamma}{2}-1$$формула Пика для многоугольника с вершинами в узлах: $B$ — узлы строго внутри, $\Gamma$ — узлы на границе (включая вершины)
• $$S=S_{\text{прямоуг.}}-S_1-S_2-S_3$$площадь «косого» треугольника: достроить до прямоугольника и вычесть три прямоугольных треугольника
• $$S=\dfrac12 ah$$треугольник: основание и высота идут по линиям сетки
• $$d=\sqrt{m^2+n^2}$$длина отрезка между узлами, смещённого на $m$ клеток по горизонтали и на $n$ по вертикали
• $$\sqrt2$$диагональ клетки; $\sqrt5$ — «ход коня» ($1\times2$); $5$ — диагональ прямоугольника $3\times4$
• $$\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\text{противолеж.}}{\text{прилеж.}}$$тангенс угла в прямоугольном треугольнике, катеты которого идут по линиям сетки: отношение числа клеток
• $$S=ah$$параллелограмм: сторона и высота считаются по клеткам
• $$S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h$$трапеция; средняя линия считается по клеткам (ОГЭ: «найдите длину средней линии»)
• $$S=\dfrac12d_1d_2$$ромб (или четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями), диагонали идут по сетке
• $$\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{a_1}{a_2}$$медиана и общая высота: треугольники с одинаковой высотой имеют площади, пропорциональные основаниям
• $$S=\dfrac12\left|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\right|$$площадь треугольника по координатам узлов
• $$S'=k^2S$$сторона клетки $k$ (например, $k=2\ \text{см}$): реальная площадь в $k^2$ раз больше «клеточной»
• $$S=\dfrac{\pi R^2\alpha}{360^\circ}$$сектор или часть круга на сетке: радиус и угол считаются по клеткам; четверть круга — $\dfrac{\pi R^2}{4}$
• $$\dfrac{AO}{OC}=\dfrac{BO}{OD}$$отрезки, пересекающиеся внутри фигуры: отношение находят из подобия треугольников по клеткам
• $$S=S_{\text{большой}}-S_{\text{вырез}}$$сложная фигура: разбить на простые части или вычесть вырезанные