Задание 11 ЕГЭ база по математике: практическая стереометрия

Формулы к заданию 11

Стереометрия: объёмы и площади

• $V=abc,\quad d^2=a^2+b^2+c^2$ — прямоугольный параллелепипед: объём и диагональ
• $V=a^3,\quad S=6a^2$ — куб
• $V=S_{\text{осн}}\cdot h$ — призма
• $V=\dfrac13 S_{\text{осн}}\cdot h$ — пирамида
• $S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h$ — боковая поверхность прямой призмы

Многогранники

• $V=S_{\text{осн}}\cdot h$ — призма; для наклонной призмы $h$ — расстояние между основаниями, также $V=S_\perp\cdot l$ ($S_\perp$ — площадь перпендикулярного сечения, $l$ — боковое ребро)
• $S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}$ — полная поверхность призмы
• $V=abc,\quad S=2(ab+bc+ac),\quad d^2=a^2+b^2+c^2$ — прямоугольный параллелепипед
• $V=a^3,\quad S=6a^2,\quad d=a\sqrt3$ — куб; диагональ грани $a\sqrt2$
• $V=\dfrac13S_{\text{осн}}\cdot h$ — пирамида

Тела вращения

• $V=\pi R^2h,\quad S_{\text{бок}}=2\pi Rh,\quad S_{\text{полн}}=2\pi R(R+h)$ — цилиндр; осевое сечение — прямоугольник $2R\times h$, развёртка боковой поверхности — прямоугольник $2\pi R\times h$
• $V=\dfrac13\pi R^2h,\quad S_{\text{бок}}=\pi Rl,\quad S_{\text{полн}}=\pi R(R+l)$ — конус; $l$ — образующая
• $l^2=R^2+h^2,\quad \cos\varphi=\dfrac Rl$ — конус: связь $R$, $h$, $l$; $\varphi$ — угол образующей с основанием; осевое сечение — равнобедренный треугольник
• $\alpha=360^\circ\cdot\dfrac Rl$ — угол сектора, являющегося развёрткой боковой поверхности конуса
• $V=\dfrac43\pi R^3,\quad S=4\pi R^2$ — шар и сфера

Примеры с решениями

Условия — в стиле заданий ФИПИ. Сначала попробуйте решить сами, потом откройте подсказки и решение.