Тела вращения: формулы

Цилиндр, конус, усечённый конус, шар и сфера: объёмы, площади и связь между элементами через осевое сечение. Вписанные и описанные тела сводятся к планиметрии осевого сечения.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база. Раздел: геометрия.

• $$V=\pi R^2h,\quad S_{\text{бок}}=2\pi Rh,\quad S_{\text{полн}}=2\pi R(R+h)$$цилиндр; осевое сечение — прямоугольник $2R\times h$, развёртка боковой поверхности — прямоугольник $2\pi R\times h$
• $$V=\dfrac13\pi R^2h,\quad S_{\text{бок}}=\pi Rl,\quad S_{\text{полн}}=\pi R(R+l)$$конус; $l$ — образующая
• $$l^2=R^2+h^2,\quad \cos\varphi=\dfrac Rl$$конус: связь $R$, $h$, $l$; $\varphi$ — угол образующей с основанием; осевое сечение — равнобедренный треугольник
• $$\alpha=360^\circ\cdot\dfrac Rl$$угол сектора, являющегося развёрткой боковой поверхности конуса
• $$V=\dfrac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)$$усечённый конус с радиусами оснований $R$, $r$ ЕГЭ профиль
• $$S_{\text{бок}}=\pi(R+r)l,\quad l^2=h^2+(R-r)^2$$усечённый конус: боковая поверхность и образующая ЕГЭ профиль
• $$V=\dfrac43\pi R^3,\quad S=4\pi R^2$$шар и сфера
• $$r_{\text{сеч}}=\sqrt{R^2-d^2}$$сечение шара плоскостью на расстоянии $d$ от центра — круг; плоскость, касательная к шару, перпендикулярна радиусу в точке касания
• $$S_{\text{сегм}}=2\pi Rh$$площадь поверхности шарового сегмента (и шарового пояса) высоты $h$ ЕГЭ профиль
• $$V_{\text{сегм}}=\pi h^2\left(R-\dfrac h3\right)$$объём шарового сегмента высоты $h$ ЕГЭ профиль
• $$V_{\text{сект}}=\dfrac23\pi R^2h$$объём шарового сектора, $h$ — высота соответствующего сегмента ЕГЭ профиль
• $$h=2R_{\text{ц}}$$шар вписан в цилиндр: диаметр шара равен высоте; тогда $V_{\text{ш}}=\dfrac23V_{\text{ц}}$, а площадь сферы равна боковой поверхности цилиндра
• $$R_{\text{ш}}^2=R_{\text{ц}}^2+\dfrac{h^2}{4}$$цилиндр вписан в шар: высота $h$, радиус основания $R_{\text{ц}}$
• $$r_{\text{ш}}=\dfrac{Rh}{R+l}$$радиус шара, вписанного в конус (радиус вписанной окружности осевого сечения) ЕГЭ профиль
• $$R_{\text{ш}}=\dfrac{l^2}{2h}$$радиус шара, описанного около конуса (радиус описанной окружности осевого сечения) ЕГЭ профиль
• $$r=R\cdot\dfrac{h-x}{h}$$радиус сечения конуса плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии $x$ от основания
• $$\dfrac{V_1}{V_2}=k^3,\quad \dfrac{S_1}{S_2}=k^2$$подобные тела