Задание 3 ЕГЭ профиль по математике: стереометрия

Формулы к заданию 3

Стереометрия: объёмы и площади

• $V=abc,\quad d^2=a^2+b^2+c^2$ — прямоугольный параллелепипед: объём и диагональ
• $V=a^3,\quad S=6a^2$ — куб
• $V=S_{\text{осн}}\cdot h$ — призма
• $V=\dfrac13 S_{\text{осн}}\cdot h$ — пирамида
• $S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h$ — боковая поверхность прямой призмы

Прямые и плоскости в пространстве

• $A,B,C\notin\ell \Rightarrow \exists!\ \alpha$ — через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость
• $A\in\alpha,\ B\in\alpha \Rightarrow AB\subset\alpha$ — если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней
• $\alpha\cap\beta=\ell$ — если две различные плоскости имеют общую точку, они пересекаются по прямой
• $\ell\cup\{A\}\ (A\notin\ell)$ — плоскость однозначно задаётся: тремя точками; прямой и точкой вне её; двумя пересекающимися прямыми; двумя параллельными прямыми
• $a\cap b,\ a\parallel b,\ a\ \text{и}\ b\ \text{скрещиваются}$ — три случая расположения двух прямых в пространстве; параллельные и пересекающиеся лежат в одной плоскости

Перпендикулярность в пространстве

• $a\perp b,\ a\perp c,\ b\cap c \Rightarrow a\perp\alpha$ — признак перпендикулярности прямой и плоскости (по двум пересекающимся прямым плоскости $\alpha$)
• $a\perp\alpha \Rightarrow a\perp\text{любой прямой в}\ \alpha$ — прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой этой плоскости
• $a\perp\alpha,\ b\perp\alpha \Rightarrow a\parallel b$ — две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны; и если $a\parallel b$, $a\perp\alpha$, то $b\perp\alpha$
• $a\perp\alpha,\ a\perp\beta \Rightarrow \alpha\parallel\beta$ — две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны
• $l^2=h^2+p^2$ — наклонная $l$, перпендикуляр $h$ и проекция наклонной $p$ связаны теоремой Пифагора

Углы и расстояния в пространстве

• $\sin\varphi=\dfrac{h}{l}$ — угол $\varphi$ между наклонной длины $l$ и плоскостью, $h$ — расстояние от конца наклонной до плоскости; $\cos\varphi=\dfrac{p}{l}$, $p$ — проекция наклонной
• $\varphi=\angle(AB,\,AH)$ — угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её проекцией на плоскость, $0^\circ\le\varphi\le90^\circ$
• $\cos\theta=\cos\varphi\cdot\cos\psi$ — наклонная образует с плоскостью угол $\varphi$, её проекция с прямой в плоскости — угол $\psi$; $\theta$ — угол между наклонной и этой прямой
• $\angle KMN$ — линейный угол двугранного угла: $MK\perp\ell$ в одной грани, $MN\perp\ell$ в другой, $\ell$ — ребро; он измеряет угол между плоскостями
• $0^\circ<\varphi\le90^\circ$ — угол между пересекающимися плоскостями (острый или прямой); угол между скрещивающимися прямыми — тоже

Многогранники

• $V=S_{\text{осн}}\cdot h$ — призма; для наклонной призмы $h$ — расстояние между основаниями, также $V=S_\perp\cdot l$ ($S_\perp$ — площадь перпендикулярного сечения, $l$ — боковое ребро)
• $S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h$ — боковая поверхность прямой призмы; у наклонной $S_{\text{бок}}=P_\perp\cdot l$
• $S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}$ — полная поверхность призмы
• $V=abc,\quad S=2(ab+bc+ac),\quad d^2=a^2+b^2+c^2$ — прямоугольный параллелепипед
• $V=a^3,\quad S=6a^2,\quad d=a\sqrt3$ — куб; диагональ грани $a\sqrt2$

Тела вращения

• $V=\pi R^2h,\quad S_{\text{бок}}=2\pi Rh,\quad S_{\text{полн}}=2\pi R(R+h)$ — цилиндр; осевое сечение — прямоугольник $2R\times h$, развёртка боковой поверхности — прямоугольник $2\pi R\times h$
• $V=\dfrac13\pi R^2h,\quad S_{\text{бок}}=\pi Rl,\quad S_{\text{полн}}=\pi R(R+l)$ — конус; $l$ — образующая
• $l^2=R^2+h^2,\quad \cos\varphi=\dfrac Rl$ — конус: связь $R$, $h$, $l$; $\varphi$ — угол образующей с основанием; осевое сечение — равнобедренный треугольник
• $\alpha=360^\circ\cdot\dfrac Rl$ — угол сектора, являющегося развёрткой боковой поверхности конуса
• $V=\dfrac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)$ — усечённый конус с радиусами оснований $R$, $r$

Сечения многогранников и тел вращения

• $A,B\in\text{грани}$ — две точки секущей плоскости в одной грани соединяют отрезком: это след плоскости на грани
• $\alpha\parallel\beta \Rightarrow \ell_\alpha\parallel\ell_\beta$ — на параллельных гранях следы секущей плоскости параллельны
• $P=MN\cap\text{пл. основания}$ — метод следов: продолжить прямую сечения до пересечения с плоскостью основания; полученная точка лежит на следе секущей плоскости
• $S_{\text{сеч}}=\dfrac{S_{\text{пр}}}{\cos\varphi}$ — площадь сечения через площадь его проекции на плоскость основания и угол $\varphi$ между плоскостями
• $\dfrac{S_{\text{сеч}}}{S_{\text{осн}}}=k^2,\quad k=\dfrac{h-x}{h}$ — сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, подобно основанию; $x$ — расстояние от основания

Координаты и векторы в пространстве

• $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A;\ z_B-z_A)$ — координаты вектора
• $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$ — расстояние между точками; длина вектора $|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
• $M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\ \dfrac{y_A+y_B}{2};\ \dfrac{z_A+z_B}{2}\right)$ — середина отрезка $AB$
• $\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi$ — скалярное произведение
• $\cos\varphi=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}$ — угол между векторами; $\vec a\perp\vec b \iff \vec a\cdot\vec b=0$

Примеры с решениями

Условия — в стиле заданий ФИПИ. Сначала попробуйте решить сами, потом откройте подсказки и решение.