Перпендикулярность в пространстве: формулы

Перпендикулярность прямой и плоскости, наклонные и проекции, теорема о трёх перпендикулярах и перпендикулярность плоскостей. Это главные инструменты построения углов и расстояний.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база. Раздел: геометрия.

• $$a\perp b,\ a\perp c,\ b\cap c \Rightarrow a\perp\alpha$$признак перпендикулярности прямой и плоскости (по двум пересекающимся прямым плоскости $\alpha$)
• $$a\perp\alpha \Rightarrow a\perp\text{любой прямой в}\ \alpha$$прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой этой плоскости
• $$a\perp\alpha,\ b\perp\alpha \Rightarrow a\parallel b$$две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны; и если $a\parallel b$, $a\perp\alpha$, то $b\perp\alpha$
• $$a\perp\alpha,\ a\perp\beta \Rightarrow \alpha\parallel\beta$$две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны
• $$l^2=h^2+p^2$$наклонная $l$, перпендикуляр $h$ и проекция наклонной $p$ связаны теоремой Пифагора
• $$l_1<l_2 \iff p_1<p_2$$из одной точки большая наклонная имеет большую проекцию; равные наклонные имеют равные проекции; перпендикуляр короче любой наклонной
• $$AH\perp\alpha,\ HB\perp a,\ a\subset\alpha \Rightarrow AB\perp a$$теорема о трёх перпендикулярах: прямая в плоскости, перпендикулярная проекции наклонной, перпендикулярна и самой наклонной
• $$AB\perp a \Rightarrow HB\perp a$$обратная теорема о трёх перпендикулярах: прямая, перпендикулярная наклонной, перпендикулярна её проекции
• $$\alpha\supset a,\ a\perp\beta \Rightarrow \alpha\perp\beta$$признак перпендикулярности плоскостей: одна из них проходит через перпендикуляр к другой
• $$\alpha\perp\beta,\ a\subset\alpha,\ a\perp\alpha\cap\beta \Rightarrow a\perp\beta$$прямая в одной из перпендикулярных плоскостей, перпендикулярная линии пересечения, перпендикулярна другой плоскости
• $$\alpha\perp\gamma,\ \beta\perp\gamma \Rightarrow \alpha\cap\beta\perp\gamma$$линия пересечения двух плоскостей, перпендикулярных третьей, перпендикулярна ей
• $$SA=SB=SC \Rightarrow H=O$$в пирамиде с равными боковыми рёбрами основание высоты $H$ совпадает с центром $O$ описанной окружности основания
• $$\varphi_1=\varphi_2=\varphi_3 \Rightarrow H=I$$в пирамиде с равными углами наклона боковых граней к основанию основание высоты совпадает с центром $I$ вписанной окружности основания
• $$d^2=a^2+b^2+c^2$$диагональ прямоугольного параллелепипеда; $d=a\sqrt3$ у куба
• $$\rho(a,b)=\rho(a,\beta)$$расстояние между скрещивающимися прямыми $a$ и $b$ равно расстоянию от $a$ до плоскости $\beta\supset b$, параллельной $a$ ЕГЭ профиль
• $$\text{общий перпендикуляр}$$общий перпендикуляр скрещивающихся прямых — отрезок, перпендикулярный обеим; его длина — расстояние между ними ЕГЭ профиль