Сечения многогранников и тел вращения: формулы

Сечение строят по следам плоскости на гранях: две точки одной грани соединяют, а на параллельных гранях следы параллельны. Площадь сечения находят через его проекцию.

Подходит для: ЕГЭ профиль. Раздел: геометрия.

• $$A,B\in\text{грани}$$две точки секущей плоскости в одной грани соединяют отрезком: это след плоскости на грани
• $$\alpha\parallel\beta \Rightarrow \ell_\alpha\parallel\ell_\beta$$на параллельных гранях следы секущей плоскости параллельны
• $$P=MN\cap\text{пл. основания}$$метод следов: продолжить прямую сечения до пересечения с плоскостью основания; полученная точка лежит на следе секущей плоскости
• $$S_{\text{сеч}}=\dfrac{S_{\text{пр}}}{\cos\varphi}$$площадь сечения через площадь его проекции на плоскость основания и угол $\varphi$ между плоскостями
• $$\dfrac{S_{\text{сеч}}}{S_{\text{осн}}}=k^2,\quad k=\dfrac{h-x}{h}$$сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, подобно основанию; $x$ — расстояние от основания
• $$S=a^2\sqrt2$$диагональное сечение куба с ребром $a$ — прямоугольник $a\times a\sqrt2$
• $$S=\dfrac{3\sqrt3}{4}a^2$$сечение куба через середины шести рёбер (не имеющих общих вершин и граней) — правильный шестиугольник со стороной $\dfrac{a\sqrt2}{2}$
• $$S=\dfrac{a^2\sqrt3}{2}$$сечение куба плоскостью $A_1BD$ (через три вершины, соседние с $A$) — правильный треугольник со стороной $a\sqrt2$
• $$\dfrac a2$$сечение правильного тетраэдра с ребром $a$ плоскостью, параллельной двум скрещивающимся рёбрам и проходящей через середины остальных четырёх, — квадрат со стороной $\dfrac a2$
• $$MN\parallel BD,\ MQ\parallel AC$$сечение тетраэдра $ABCD$ плоскостью, параллельной скрещивающимся рёбрам $AC$ и $BD$, — параллелограмм
• $$S=\dfrac12\,a\cdot h_{\text{гр}}$$сечение пирамиды плоскостью через вершину и хорду основания — треугольник; через вершину и диагональ основания — тоже треугольник
• $$2R\times h$$осевое сечение цилиндра — прямоугольник площади $2Rh$; сечение, параллельное оси, тоже прямоугольник; параллельное основаниям — круг радиуса $R$
• $$S=Rh$$осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с основанием $2R$ и высотой $h$
• $$r=\sqrt{R^2-d^2}$$любое сечение шара плоскостью — круг; наибольший (большой круг) при $d=0$