Прямые и плоскости в пространстве: формулы

Аксиомы стереометрии, взаимное расположение прямых и плоскостей, признаки и свойства параллельности. Нужны для доказательств и построений в задаче 14.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база. Раздел: геометрия.

• $$A,B,C\notin\ell \Rightarrow \exists!\ \alpha$$через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость
• $$A\in\alpha,\ B\in\alpha \Rightarrow AB\subset\alpha$$если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней
• $$\alpha\cap\beta=\ell$$если две различные плоскости имеют общую точку, они пересекаются по прямой
• $$\ell\cup\{A\}\ (A\notin\ell)$$плоскость однозначно задаётся: тремя точками; прямой и точкой вне её; двумя пересекающимися прямыми; двумя параллельными прямыми
• $$a\cap b,\ a\parallel b,\ a\ \text{и}\ b\ \text{скрещиваются}$$три случая расположения двух прямых в пространстве; параллельные и пересекающиеся лежат в одной плоскости
• $$a\subset\alpha,\ b\cap\alpha=B,\ B\notin a$$признак скрещивающихся прямых: прямая $b$ пересекает плоскость в точке вне прямой $a$, лежащей в этой плоскости
• $$a\parallel b,\ b\parallel c \Rightarrow a\parallel c$$транзитивность параллельности прямых в пространстве
• $$a\parallel b,\ b\subset\alpha \Rightarrow a\parallel\alpha$$признак параллельности прямой и плоскости (прямая вне плоскости параллельна прямой в ней)
• $$a\parallel\alpha,\ a\subset\beta,\ \alpha\cap\beta=b \Rightarrow a\parallel b$$свойство: плоскость через прямую, параллельную плоскости $\alpha$, пересекает $\alpha$ по параллельной прямой
• $$a\parallel\beta,\ b\parallel\beta,\ a\cap b \Rightarrow \alpha\parallel\beta$$признак параллельности плоскостей: две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой
• $$\alpha\parallel\beta,\ \gamma\cap\alpha=a,\ \gamma\cap\beta=b \Rightarrow a\parallel b$$линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей параллельны
• $$AA_1=BB_1$$отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны
• $$\dfrac{OA_1}{OA}=\dfrac{OB_1}{OB}=\dfrac{OC_1}{OC}$$параллельные плоскости отсекают на пересекающих их прямых пропорциональные отрезки (пространственная теорема Фалеса)
• $$\varphi=\angle(a_1,b_1),\ a_1\parallel a,\ b_1\parallel b$$угол между скрещивающимися прямыми: угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным; $0^\circ<\varphi\le90^\circ$
• $$\angle(a,b)=90^\circ$$перпендикулярные прямые могут быть скрещивающимися (например, рёбра $AB$ и $CC_1$ куба)
• $$B-E+\Gamma=2$$формула Эйлера для выпуклого многогранника: вершины $-$ рёбра $+$ грани ЕГЭ профиль
• $$\text{проекция}$$параллельное проектирование сохраняет параллельность и отношение отрезков на одной прямой (или на параллельных прямых), но не длины и углы ЕГЭ профиль