Задание 4 ЕГЭ профиль по математике: теория вероятностей

Формулы к заданию 4

Вероятность

• $P(A)=\dfrac{m}{n}$ — классическое определение: $m$ благоприятных из $n$ равновозможных исходов
• $0\le P(A)\le1$ — вероятность любого события
• $P(\bar A)=1-P(A)$ — вероятность противоположного события
• $P(A+B)=P(A)+P(B)$ — сумма несовместных событий
• $P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$ — сумма произвольных событий

Комбинаторика

• $N=n_1\cdot n_2\cdot\ldots\cdot n_k$ — правило произведения: первый выбор можно сделать $n_1$ способами, второй — $n_2$ и т. д.
• $N=n_1+n_2$ — правило суммы: объект выбирают из одного из двух непересекающихся наборов
• $n!=1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot n,\quad 0!=1,\quad 1!=1$ — факториал
• $n!=n\cdot(n-1)!$ — рекуррентное свойство факториала
• $P_n=n!$ — перестановки: число способов расставить $n$ различных элементов в ряд

Классическая и геометрическая вероятность

• $P(A)=\dfrac{m}{n}$ — $m$ благоприятных исходов из $n$ равновозможных
• $0\le P(A)\le1$ — вероятность любого события; $P=0$ у невозможного, $P=1$ у достоверного
• $P(\bar A)=1-P(A)$ — вероятность противоположного события («хотя бы один» = 1 − «ни одного»)
• $n=2^k$ — число исходов при $k$ бросках монеты
• $n=6^k$ — число исходов при $k$ бросках игральной кости

События и их вероятности

• $AB$ — произведение событий: произошли и $A$, и $B$
• $A+B$ — сумма событий: произошло хотя бы одно из $A$, $B$
• $AB=\varnothing$ — события несовместны: одновременно произойти не могут
• $P(A+B)=P(A)+P(B)$ — вероятность суммы несовместных событий
• $P(A_1+\ldots+A_k)=P(A_1)+\ldots+P(A_k)$ — сумма нескольких попарно несовместных событий

Схема Бернулли и дерево событий

• $P(\text{путь})=p_1\cdot p_2\cdot\ldots\cdot p_k$ — вероятность пути по дереву: произведение вероятностей на его ветвях
• $P(A)=\sum P(\text{пути к }A)$ — вероятность события: сумма вероятностей всех путей, ведущих к нему
• $p_1+p_2+\ldots+p_m=1$ — сумма вероятностей ветвей, выходящих из одной вершины, равна $1$
• $P_n(k)=C_n^k\,p^k(1-p)^{n-k}$ — формула Бернулли: ровно $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях, $p$ — вероятность успеха в одном
• $P_n(0)=(1-p)^n$ — ни одного успеха

Примеры с решениями

Условия — в стиле заданий ФИПИ. Сначала попробуйте решить сами, потом откройте подсказки и решение.