Схема Бернулли и дерево событий: формулы

Дерево событий показывает все пути опыта: вероятности вдоль пути перемножают, вероятности разных путей к одному результату складывают. Для серии одинаковых независимых испытаний есть формула Бернулли.

Подходит для: ЕГЭ профиль. Раздел: вероятность.

• $$P(\text{путь})=p_1\cdot p_2\cdot\ldots\cdot p_k$$вероятность пути по дереву: произведение вероятностей на его ветвях
• $$P(A)=\sum P(\text{пути к }A)$$вероятность события: сумма вероятностей всех путей, ведущих к нему
• $$p_1+p_2+\ldots+p_m=1$$сумма вероятностей ветвей, выходящих из одной вершины, равна $1$
• $$P_n(k)=C_n^k\,p^k(1-p)^{n-k}$$формула Бернулли: ровно $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях, $p$ — вероятность успеха в одном
• $$P_n(0)=(1-p)^n$$ни одного успеха
• $$P_n(n)=p^n$$все $n$ испытаний успешны
• $$P_n(\ge1)=1-(1-p)^n$$хотя бы один успех
• $$P_n(\ge k)=\sum\limits_{j=k}^{n}C_n^j\,p^j(1-p)^{n-j}$$не менее $k$ успехов
• $$P_n(\le k)=1-P_n(\ge k+1)$$не более $k$ успехов через дополнение
• $$P_n(k)=\dfrac{C_n^k}{2^n}$$монета ($p=\dfrac12$): ровно $k$ орлов в $n$ бросках
• $$P=q^{\,k-1}p$$первый успех ровно в $k$-м испытании, $q=1-p$
• $$P=1-q^{\,k}$$первый успех произойдёт не позже $k$-го испытания, $q=1-p$
• $$q=1-p$$вероятность неудачи в одном испытании
• $$p=0{,}5$$турнирные задачи: у равных соперников каждая партия решается с вероятностью $0{,}5$, исходы партий независимы