Задание 5 ЕГЭ профиль по математике: сложные события

ЕГЭ по математике (профиль) · задание 5 · часть 1, краткий ответ · до 1 балла. В банке «Корень» — 115 задач этого номера: сложение и умножение вероятностей, линейные уравнения, статистика.

Формулы к заданию 5

Вероятность

$P(A)=\dfrac{m}{n}$ — классическое определение: $m$ благоприятных из $n$ равновозможных исходов
$0\le P(A)\le1$ — вероятность любого события
$P(\bar A)=1-P(A)$ — вероятность противоположного события
$P(A+B)=P(A)+P(B)$ — сумма несовместных событий
$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$ — сумма произвольных событий

События и их вероятности

$AB$ — произведение событий: произошли и $A$ , и $B$
$A+B$ — сумма событий: произошло хотя бы одно из $A$ , $B$
$AB=\varnothing$ — события несовместны: одновременно произойти не могут
$P(A+B)=P(A)+P(B)$ — вероятность суммы несовместных событий
$P(A_1+\ldots+A_k)=P(A_1)+\ldots+P(A_k)$ — сумма нескольких попарно несовместных событий

Схема Бернулли и дерево событий

$P(\text{путь})=p_1\cdot p_2\cdot\ldots\cdot p_k$ — вероятность пути по дереву: произведение вероятностей на его ветвях
$P(A)=\sum P(\text{пути к }A)$ — вероятность события: сумма вероятностей всех путей, ведущих к нему
$p_1+p_2+\ldots+p_m=1$ — сумма вероятностей ветвей, выходящих из одной вершины, равна $1$
$P_n(k)=C_n^k\,p^k(1-p)^{n-k}$ — формула Бернулли: ровно $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях, $p$ — вероятность успеха в одном
$P_n(0)=(1-p)^n$ — ни одного успеха

Примеры с решениями

Условия — в стиле заданий ФИПИ. Сначала попробуйте решить сами, потом откройте подсказки и решение.

Пример 1

сложность: базовая

Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна $0{,}048$ . В некотором городе из $2000$ проданных за год проигрывателей в гарантийную мастерскую поступило $110$ штук. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Подсказки

Частота события — отношение числа случаев, когда оно произошло, к числу всех испытаний.
Частота: $\dfrac{110}{2000} = 0{,}055$ .
Найдите $|0{,}055 - 0{,}048|$ .

Решение

Частота $\dfrac{110}{2000} = 0{,}055$ , она отличается от вероятности на $|0{,}055 - 0{,}048| = 0{,}007$ . Ответ: 0,007.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

Если пациент болен анемией, то анализ даёт положительный результат с вероятностью $0{,}9$ . Если пациент не болен анемией, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью $0{,}02$ . Известно, что $10\%$ пациентов, поступающих с подозрением на это заболевание, действительно больны. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на заболевание, будет положительным.

Подсказки

Положительный результат возможен в двух несовместных случаях: пациент болен или пациент здоров.
Больной пациент — с вероятностью $0{,}1$ , здоровый — $0{,}9$ .
$P = 0{,}1 \cdot 0{,}9 + 0{,}9 \cdot 0{,}02$ .

Решение

$P = 0{,}1 \cdot 0{,}9 + 0{,}9 \cdot 0{,}02 = 0{,}09 + 0{,}018 = 0{,}108$ . Ответ: 0,108.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы $3$ очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает $3$ очка, в случае ничьей — $1$ очко, если проигрывает — $0$ очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований, если в каждой игре вероятность выигрыша равна $0{,}4$ , а вероятность проигрыша равна $0{,}3$ .

Подсказки

Вероятность ничьей $1 - 0{,}4 - 0{,}3 = 0{,}3$ .
Переберите исходы двух игр (В — выигрыш, Н — ничья, П — проигрыш), дающие не меньше $3$ очков.
Подходят: ВВ, ВН, ВП, НВ, ПВ. Сложите вероятности этих исходов.

Решение

Вероятность ничьей $0{,}3$ . Подходят исходы ВВ, ВН, ВП, НВ, ПВ. $P = 0{,}4 \cdot 0{,}4 + 0{,}4 \cdot 0{,}3 + 0{,}4 \cdot 0{,}3 + 0{,}3 \cdot 0{,}4 + 0{,}3 \cdot 0{,}4 = 0{,}64$ . Ответ: 0,64.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна $0{,}043$ . В некотором городе из $1000$ проданных за год проигрывателей в гарантийную мастерскую поступило $32$ штуки. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Подсказки

Частота события — отношение числа случаев, когда оно произошло, к числу всех испытаний.
Частота: $\dfrac{32}{1000} = 0{,}032$ .
Найдите $|0{,}032 - 0{,}043|$ .

Решение

Частота $\dfrac{32}{1000} = 0{,}032$ , она отличается от вероятности на $|0{,}032 - 0{,}043| = 0{,}011$ . Ответ: 0,011.

Решить в Telegram

Пример 5

сложность: средняя

Чтобы поступить в институт на выбранную специальность, абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее $75$ баллов по каждому из трёх предметов — математике, русскому языку и физике. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее $75$ баллов по математике, равна $0{,}7$ , по русскому языку — $0{,}8$ , по физике — $0{,}9$ . Найдите вероятность того, что З. сможет поступить на эту специальность.

Подсказки

Нужно, чтобы одновременно произошли три независимых события.
Вероятность одновременного наступления независимых событий равна произведению их вероятностей.
$P = 0{,}7 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}9$ .

Решение

Результаты по предметам независимы: $P = 0{,}7 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}9 = 0{,}504$ . Ответ: 0,504.

Решить в Telegram