Координаты и векторы в пространстве: формулы

Начало координат ставят в вершину с тремя взаимно перпендикулярными рёбрами. Углы и расстояния тогда находят по формулам через скалярное произведение и уравнение плоскости.

Подходит для: ЕГЭ профиль. Раздел: геометрия.

• $$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A;\ z_B-z_A)$$координаты вектора
• $$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$$расстояние между точками; длина вектора $|\vec a|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
• $$M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\ \dfrac{y_A+y_B}{2};\ \dfrac{z_A+z_B}{2}\right)$$середина отрезка $AB$
• $$\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=|\vec a|\,|\vec b|\cos\varphi$$скалярное произведение
• $$\cos\varphi=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}$$угол между векторами; $\vec a\perp\vec b \iff \vec a\cdot\vec b=0$
• $$\cos\varphi=\dfrac{|\vec a\cdot\vec b|}{|\vec a|\,|\vec b|}$$угол между прямыми с направляющими векторами $\vec a$, $\vec b$ (берётся модуль, $\varphi\le90^\circ$)
• $$ax+by+cz+d=0$$уравнение плоскости, $\vec n=(a;\ b;\ c)$ — вектор нормали
• $$\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$$нормаль плоскости через точки $A,B,C$ (либо решить систему $\vec n\cdot\overrightarrow{AB}=0$, $\vec n\cdot\overrightarrow{AC}=0$)
• $$\vec a\times\vec b=(y_1z_2-z_1y_2;\ z_1x_2-x_1z_2;\ x_1y_2-y_1x_2)$$векторное произведение; $|\vec a\times\vec b|=|\vec a|\,|\vec b|\sin\varphi$
• $$\sin\varphi=\dfrac{|\vec a\cdot\vec n|}{|\vec a|\,|\vec n|}$$угол $\varphi$ между прямой с направляющим вектором $\vec a$ и плоскостью с нормалью $\vec n$
• $$\cos\varphi=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|}$$угол между плоскостями через их нормали (острый или прямой)
• $$\rho=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$расстояние от точки $(x_0;\ y_0;\ z_0)$ до плоскости
• $$\rho=\dfrac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$расстояние между параллельными плоскостями $ax+by+cz+d_1=0$ и $ax+by+cz+d_2=0$
• $$\rho=\dfrac{|\overrightarrow{AM}\times\vec a|}{|\vec a|}$$расстояние от точки $M$ до прямой, проходящей через $A$ с направляющим вектором $\vec a$
• $$\rho=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\cdot(\vec a\times\vec b)|}{|\vec a\times\vec b|}$$расстояние между скрещивающимися прямыми: $A$, $B$ лежат на разных прямых, $\vec a$, $\vec b$ — направляющие векторы
• $$\vec r=\vec r_0+t\vec a$$параметрическое уравнение прямой: $(x;\ y;\ z)=(x_0+at;\ y_0+bt;\ z_0+ct)$
• $$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$$сфера с центром $(a;\ b;\ c)$ и радиусом $R$
• $$\vec a=\lambda\vec b \iff \dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{y_1}{y_2}=\dfrac{z_1}{z_2}$$коллинеарность векторов (знаменатели не равны нулю)
• $$\vec c=\lambda\vec a+\mu\vec b$$три вектора компланарны, если один раскладывается по двум другим; смешанное произведение $(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c=0$
• $$V=\dfrac16\left|\left(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right)\cdot\overrightarrow{AD}\right|$$объём тетраэдра $ABCD$; объём параллелепипеда — без множителя $\dfrac16$
• $$S=\dfrac12\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|$$площадь треугольника $ABC$; площадь параллелограмма — без множителя $\dfrac12$
• $$\overrightarrow{OG}=\dfrac14\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)$$центр масс тетраэдра $ABCD$