Углы и расстояния в пространстве: формулы

Угол между прямой и плоскостью, между плоскостями и скрещивающимися прямыми, расстояния от точки до плоскости и между прямыми. Строят прямоугольный треугольник и применяют планиметрию.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база. Раздел: геометрия.

• $$\sin\varphi=\dfrac{h}{l}$$угол $\varphi$ между наклонной длины $l$ и плоскостью, $h$ — расстояние от конца наклонной до плоскости; $\cos\varphi=\dfrac{p}{l}$, $p$ — проекция наклонной
• $$\varphi=\angle(AB,\,AH)$$угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её проекцией на плоскость, $0^\circ\le\varphi\le90^\circ$
• $$\cos\theta=\cos\varphi\cdot\cos\psi$$наклонная образует с плоскостью угол $\varphi$, её проекция с прямой в плоскости — угол $\psi$; $\theta$ — угол между наклонной и этой прямой ЕГЭ профиль
• $$\angle KMN$$линейный угол двугранного угла: $MK\perp\ell$ в одной грани, $MN\perp\ell$ в другой, $\ell$ — ребро; он измеряет угол между плоскостями
• $$0^\circ<\varphi\le90^\circ$$угол между пересекающимися плоскостями (острый или прямой); угол между скрещивающимися прямыми — тоже
• $$S_{\text{пр}}=S\cos\varphi$$площадь проекции фигуры на плоскость, наклонённую под углом $\varphi$ ЕГЭ профиль
• $$\rho(A,\alpha)=AH,\quad AH\perp\alpha$$расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра
• $$\rho=\dfrac{3V}{S_{\triangle}}$$расстояние от вершины пирамиды до плоскости грани через объём пирамиды $V$ и площадь $S_\triangle$ этой грани (метод объёмов)
• $$\rho(a,\alpha)=\rho(A,\alpha),\ A\in a$$расстояние от прямой $a\parallel\alpha$ до плоскости: от любой точки прямой
• $$\rho(\alpha,\beta)=\rho(A,\beta),\ A\in\alpha$$расстояние между параллельными плоскостями: от любой точки одной до другой
• $$\rho(a,b)$$расстояние между скрещивающимися прямыми: длина общего перпендикуляра, равная расстоянию от $a$ до плоскости, проходящей через $b$ параллельно $a$ ЕГЭ профиль
• $$V=\dfrac16\,AB\cdot CD\cdot\rho\cdot\sin\varphi$$объём тетраэдра $ABCD$ через противоположные рёбра $AB$, $CD$, расстояние $\rho$ и угол $\varphi$ между этими скрещивающимися прямыми ЕГЭ профиль
• $$\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{h}{r}$$правильная пирамида: угол между боковой гранью и основанием, $r$ — радиус вписанной окружности основания, $h$ — высота
• $$\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{h}{R}$$правильная пирамида: угол бокового ребра с основанием, $R$ — радиус описанной окружности основания
• $$\cos\varphi=\dfrac{S_{\text{осн}}}{S_{\text{бок}}}$$все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под одним углом $\varphi$ ЕГЭ профиль
• $$\cos\varphi=\dfrac1{\sqrt3}$$куб: угол между диагональю и ребром; угол диагонали куба с гранью: $\sin\varphi=\dfrac1{\sqrt3}$, $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac1{\sqrt2}$
• $$\cos\varphi=\dfrac13$$правильный тетраэдр: угол между гранями (двугранный); между ребром и гранью $\cos\varphi=\dfrac1{\sqrt3}$ ЕГЭ профиль
• $$\rho=\dfrac{a\sqrt2}{2}$$правильный тетраэдр с ребром $a$: расстояние между противоположными рёбрами ЕГЭ профиль