Многогранники: формулы

Призма, параллелепипед, пирамида, правильная и усечённая пирамида: объёмы, площади поверхностей и связи между элементами. В правильной пирамиде основание высоты — центр основания.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база. Раздел: геометрия.

• $$V=S_{\text{осн}}\cdot h$$призма; для наклонной призмы $h$ — расстояние между основаниями, также $V=S_\perp\cdot l$ ($S_\perp$ — площадь перпендикулярного сечения, $l$ — боковое ребро)
• $$S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h$$боковая поверхность прямой призмы; у наклонной $S_{\text{бок}}=P_\perp\cdot l$ ЕГЭ профиль
• $$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}$$полная поверхность призмы
• $$V=abc,\quad S=2(ab+bc+ac),\quad d^2=a^2+b^2+c^2$$прямоугольный параллелепипед
• $$V=a^3,\quad S=6a^2,\quad d=a\sqrt3$$куб; диагональ грани $a\sqrt2$
• $$d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2=4\left(a^2+b^2+c^2\right)$$сумма квадратов четырёх диагоналей параллелепипеда ЕГЭ профиль
• $$V=\dfrac13S_{\text{осн}}\cdot h$$пирамида
• $$S_{\text{бок}}=\dfrac12P_{\text{осн}}\cdot l$$правильная пирамида, $l$ — апофема (высота боковой грани)
• $$l^2=h^2+r^2,\quad b^2=h^2+R^2,\quad b^2=l^2+\dfrac{a^2}{4}$$правильная пирамида: $h$ — высота, $r$, $R$ — радиусы вписанной и описанной окружностей основания, $b$ — боковое ребро, $a$ — сторона основания
• $$S_{\text{бок}}=\dfrac{S_{\text{осн}}}{\cos\varphi}$$если все боковые грани наклонены к основанию под углом $\varphi$
• $$r=\dfrac{a\sqrt3}{6},\ R=\dfrac{a\sqrt3}{3}$$правильная треугольная пирамида: радиусы вписанной и описанной окружностей основания
• $$r=\dfrac a2,\ R=\dfrac{a\sqrt2}{2}$$правильная четырёхугольная пирамида
• $$r=\dfrac{a\sqrt3}{2},\ R=a$$правильная шестиугольная пирамида
• $$h=\dfrac{a\sqrt6}{3},\quad V=\dfrac{a^3\sqrt2}{12},\quad S=a^2\sqrt3$$правильный тетраэдр с ребром $a$: высота, объём, площадь поверхности
• $$R_{\text{опис}}=\dfrac{a\sqrt6}{4},\quad r_{\text{впис}}=\dfrac{a\sqrt6}{12}$$правильный тетраэдр: радиусы описанного и вписанного шаров ЕГЭ профиль
• $$V=\dfrac13S_{\text{полн}}\cdot r$$объём многогранника, в который вписан шар радиуса $r$ ЕГЭ профиль
• $$R=\dfrac{b^2}{2h}$$радиус шара, описанного около правильной пирамиды ($b$ — боковое ребро, $h$ — высота) ЕГЭ профиль
• $$\dfrac{V_1}{V}=\dfrac{SA_1\cdot SB_1\cdot SC_1}{SA\cdot SB\cdot SC}$$отношение объёмов треугольных пирамид с общим трёхгранным углом при вершине $S$ ЕГЭ профиль
• $$\dfrac{V_1}{V}=k^3,\quad \dfrac{S_1}{S}=k^2$$сечение, параллельное основанию, отсекает подобную пирамиду с коэффициентом $k=\dfrac{h_1}{h}$
• $$V=\dfrac h3\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2}\right)$$усечённая пирамида с площадями оснований $S_1$ и $S_2$ ЕГЭ профиль
• $$S_{\text{бок}}=\dfrac{P_1+P_2}{2}\cdot l$$боковая поверхность правильной усечённой пирамиды, $l$ — апофема ЕГЭ профиль
• $$R_{\text{ш}}^2=\left(\dfrac h2\right)^2+R_{\text{осн}}^2$$шар описан около прямой призмы, у основания которой есть описанная окружность радиуса $R_{\text{осн}}$; $h$ — высота призмы ЕГЭ профиль