Задание 14 ОГЭ по математике: прогрессии

ОГЭ по математике · задание 14 · часть 1, краткий ответ · до 1 балла. В банке «Корень» — 110 задач этого номера: прогрессии, практические задачи.

Формулы к заданию 14

Прогрессии

$a_n=a_1+d(n-1)$ — $n$ -й член арифметической прогрессии
$S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ — сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии
$S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$ — та же сумма через $a_1$ и $d$
$a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ — характеристическое свойство арифметической прогрессии
$b_n=b_1q^{n-1}$ — $n$ -й член геометрической прогрессии

Примеры с решениями

Условия — в стиле заданий ФИПИ. Сначала попробуйте решить сами, потом откройте подсказки и решение.

Пример 1

сложность: базовая

Арифметическая прогрессия $(a_n)$ задана первыми членами: $-2; -1; 0; \ldots$ Найдите $a_{13}$ .

Подсказки

Разность прогрессии равна разности соседних членов: $d = a_2 - a_1$ .
$d = -1 - (-2) = 1$ .
$a_{13} = a_1 + 12d = -2 + 12 \cdot 1$ .

Решение

$d = 1$ , $a_{13} = -2 + 12 \cdot 1 = 10$ . Ответ: 10.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

В первом ряду кинотеатра 29 мест, а в каждом следующем на 1 место больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в первых 11 рядах?

Подсказки

Число мест по рядам — арифметическая прогрессия; нужна сумма её первых членов.
$a_1 = 29$ , $d = 1$ . Сумма: $S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ .
$a_{11} = 29 + 10 \cdot 1 = 39$ , $S_{11} = \dfrac{29 + 39}{2} \cdot 11$ .

Решение

$a_{11} = 29 + 10 \cdot 1 = 39$ , $S_{11} = \dfrac{29 + 39}{2} \cdot 11 = 374$ . Ответ: 374.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

Ученик решил выучить английские слова. В первый день он выучил 1 слово, а в каждый следующий день — вдвое больше, чем в предыдущий. Сколько всего слов он выучит за первые 5 дней?

Подсказки

Количества по дням образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $2$ ; нужна сумма первых членов.
$b_1 = 1$ , $q = 2$ . Формула суммы: $S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ .
$S_{5} = \dfrac{1 \cdot (2^{5} - 1)}{2 - 1} = 1 \cdot (32 - 1)$ .

Решение

$S_{5} = \dfrac{1 \cdot (2^{5} - 1)}{2 - 1} = 1 \cdot 31 = 31$ . Ответ: 31.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

Арифметическая прогрессия $(a_n)$ задана первыми членами: $15; 17; 19; \ldots$ Найдите $a_{26}$ .

Подсказки

Разность прогрессии равна разности соседних членов: $d = a_2 - a_1$ .
$d = 17 - 15 = 2$ .
$a_{26} = a_1 + 25d = 15 + 25 \cdot 2$ .

Решение

$d = 2$ , $a_{26} = 15 + 25 \cdot 2 = 65$ . Ответ: 65.

Решить в Telegram

Пример 5

сложность: средняя

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 7 метров, а в каждую следующую секунду на 9 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые 7 секунд?

Подсказки

Расстояния за каждую секунду образуют арифметическую прогрессию; нужно найти сумму первых членов.
$a_1 = 7$ , $d = 9$ . Найдите $a_{7}$ , затем $S_{7} = \dfrac{a_1 + a_{7}}{2} \cdot 7$ .
$a_{7} = 7 + 6 \cdot 9 = 61$ .

Решение

$a_{7} = 7 + 6 \cdot 9 = 61$ , $S_{7} = \dfrac{7 + 61}{2} \cdot 7 = 238$ м. Ответ: 238.

Решить в Telegram