Прогрессии: формулы

В арифметической прогрессии каждый член больше предыдущего на разность $d$, в геометрической — в $q$ раз.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ. Раздел: алгебра.

• $$a_n=a_1+d(n-1)$$$n$-й член арифметической прогрессии
• $$S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии
• $$S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$$та же сумма через $a_1$ и $d$
• $$a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$$характеристическое свойство арифметической прогрессии
• $$b_n=b_1q^{n-1}$$$n$-й член геометрической прогрессии
• $$S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}$$сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии, $q\ne1$
• $$b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}$$характеристическое свойство геометрической прогрессии
• $$S=\dfrac{b_1}{1-q}$$сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, $|q|<1$
• $$1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$$сумма первых $n$ натуральных чисел
• $$d=\dfrac{a_n-a_m}{n-m}$$разность арифметической прогрессии по двум членам; $a_n=a_m+d(n-m)$
• $$a_k+a_l=a_m+a_n$$при $k+l=m+n$; в частности, члены, равноотстоящие от концов, дают одну и ту же сумму
• $$a_n=S_n-S_{n-1}\ (n\ge2),\quad a_1=S_1$$член прогрессии через суммы
• $$S_n=\dfrac{d}{2}n^2+\left(a_1-\dfrac{d}{2}\right)n$$сумма арифметической прогрессии как квадратичная функция от $n$ ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$a-d,\ a,\ a+d$$три последовательных члена арифметической прогрессии; $\dfrac{b}{q},\ b,\ bq$ — геометрической
• $$q=\dfrac{b_{n+1}}{b_n},\quad b_n=b_mq^{n-m}$$знаменатель геометрической прогрессии и член через другой член
• $$b_kb_l=b_mb_n$$при $k+l=m+n$ ЕГЭ профиль, ЕГЭ база
• $$S_n=\dfrac{b_nq-b_1}{q-1}$$сумма геометрической прогрессии через последний член, $q\ne1$
• $$S_n=nb_1$$сумма при $q=1$
• $$S_n=b_1\dfrac{1-q^n}{1-q}$$та же сумма, удобная при $|q|<1$
• $$a_n=A+d(n-1)$$простые проценты дают арифметическую прогрессию; сложные проценты ($q=1+\frac{r}{100}$) — геометрическую
• $$1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2$$сумма первых $n$ нечётных чисел
• $$2+4+\ldots+2n=n(n+1)$$сумма первых $n$ чётных чисел
• $$1^2+2^2+\ldots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$сумма квадратов первых $n$ натуральных чисел ЕГЭ профиль
• $$m-k+1$$число членов с номерами от $k$ до $m$ включительно