Квадратные уравнения: формулы

Уравнение $ax^2+bx+c=0$, $a\ne0$, решают через дискриминант или по теореме Виета. Дробные уравнения сводят к квадратным, не забывая про знаменатель.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ. Раздел: алгебра.

• $$D=b^2-4ac$$дискриминант
• $$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$корни при $D\ge0$; при $D<0$ корней нет
• $$x_{1,2}=\dfrac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a}$$формула для чётного коэффициента $b=2k$
• $$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\quad x_1x_2=\dfrac{c}{a}$$теорема Виета
• $$x^2=m \iff x=\pm\sqrt{m}$$неполное уравнение, $m\ge0$
• $$ax^2+bx=0 \iff x(ax+b)=0$$неполное уравнение без свободного члена
• $$a+b+c=0 \Rightarrow x_1=1,\ x_2=\dfrac{c}{a}$$быстрый подбор корня
• $$ax^4+bx^2+c=0,\quad t=x^2\ge0$$биквадратное уравнение решают заменой
• $$\dfrac{f(x)}{g(x)}=0 \iff \begin{cases} f(x)=0,\\ g(x)\ne0 \end{cases}$$дробное уравнение
• $$x_0=-\dfrac{b}{2a}$$абсцисса вершины параболы $y=ax^2+bx+c$
• $$x^2+px+q=0:\ x_1+x_2=-p,\ x_1x_2=q$$теорема Виета для приведённого уравнения; $x=-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\dfrac{p^2}{4}-q}$
• $$t^2-st+p=0$$если числа имеют сумму $s$ и произведение $p$, то они корни этого уравнения (обратная теорема Виета)
• $$a-b+c=0\Rightarrow x_1=-1,\ x_2=-\dfrac{c}{a}$$быстрый подбор корня
• $$D>0,\ D=0,\ D<0$$два различных корня, один корень $x=-\dfrac{b}{2a}$, нет действительных корней
• $$|x_1-x_2|=\dfrac{\sqrt{D}}{|a|}$$расстояние между корнями
• $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$$сумма квадратов корней через теорему Виета
• $$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)$$сумма кубов корней ЕГЭ профиль
• $$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}$$сумма обратных величин корней
• $$f(x)\cdot g(x)=0\iff f(x)=0\ \text{или}\ g(x)=0$$разложение на множители: уравнение распадается на более простые
• $$t=x+\dfrac{1}{x}:\quad x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2$$замена в возвратных уравнениях ЕГЭ профиль
• $$D\ge0,\ x_1+x_2>0,\ x_1x_2>0$$оба корня положительны ЕГЭ профиль
• $$af(m)<0$$число $m$ лежит между корнями трёхчлена $f(x)=ax^2+bx+c$ ЕГЭ профиль
• $$y_0=-\dfrac{D}{4a}$$наименьшее (при $a>0$) или наибольшее (при $a<0$) значение трёхчлена, ордината вершины параболы
• $$x_1x_2>0,\quad x_1x_2<0$$при $D\ge0$ корни одного знака и разных знаков соответственно ЕГЭ профиль