ФСУ и преобразования: формулы

Формулы сокращённого умножения помогают раскладывать на множители, сокращать дроби и упрощать выражения.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ. Раздел: алгебра.

• $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$квадрат суммы
• $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$квадрат разности
• $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$разность квадратов
• $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$куб суммы
• $$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$куб разности
• $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$сумма кубов
• $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$разность кубов
• $$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$$разложение квадратного трёхчлена, $x_1$ и $x_2$ — его корни
• $$\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad\pm bc}{bd}$$сложение и вычитание дробей
• $$\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad}{bc}$$деление дробей
• $$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$$квадрат суммы трёх слагаемых
• $$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(a-b)^2+2ab$$сумма квадратов через сумму или разность
• $$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$$разность квадратов суммы и разности
• $$(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)$$сумма квадратов суммы и разности
• $$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$$разложение приведённого трёхчлена по сумме и произведению корней
• $$ax+ay+bx+by=(a+b)(x+y)$$разложение способом группировки
• $$x^2+px+q=\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2+q-\dfrac{p^2}{4}$$выделение полного квадрата
• $$a^4-b^4=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$$разность четвёртых степеней
• $$\dfrac{a^2-b^2}{a-b}=a+b$$сокращение дроби, $a\ne b$
• $$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{a+b}{ab}$$сумма обратных величин, $a\ne0$, $b\ne0$
• $$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$$сумма кубов через сумму и произведение ЕГЭ профиль
• $$a^n-b^n=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)$$разность $n$-х степеней ЕГЭ профиль
• $$a^n+b^n=(a+b)\left(a^{n-1}-a^{n-2}b+\ldots-ab^{n-2}+b^{n-1}\right)$$сумма $n$-х степеней, $n$ нечётно ЕГЭ профиль
• $$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$$четвёртая степень суммы (коэффициенты — строка треугольника Паскаля $1,4,6,4,1$) ЕГЭ профиль
• $$a^4+4b^4=(a^2+2ab+2b^2)(a^2-2ab+2b^2)$$тождество Софи Жермен ЕГЭ профиль
• $$P(x)=(x-a)Q(x)+r,\quad r=P(a)$$теорема Безу: остаток от деления многочлена на $x-a$ равен значению $P(a)$ ЕГЭ профиль
• $$P(a)=0\iff (x-a)\mid P(x)$$число $a$ — корень многочлена тогда и только тогда, когда он делится на $x-a$ ЕГЭ профиль
• $$x=\dfrac{p}{q}$$рациональный корень многочлена с целыми коэффициентами: $p$ делит свободный член, $q$ делит старший коэффициент ЕГЭ профиль
• $$x_1+x_2+x_3=-p,\ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=q,\ x_1x_2x_3=-r$$теорема Виета для $x^3+px^2+qx+r=0$ ЕГЭ профиль