Показательные и логарифмические неравенства: формулы

Показательная и логарифмическая функции возрастают при основании больше $1$ и убывают при основании от $0$ до $1$: в первом случае знак неравенства сохраняется, во втором меняется. Логарифмическое неравенство обязательно решают вместе с ОДЗ.

Подходит для: ЕГЭ профиль. Раздел: алгебра.

• $$a^{f}>b,\ b\le0$$верно при всех допустимых $x$; $a^{f}<b,\ b\le0$ — решений нет
• $$t=a^{x}>0$$замена: неравенство относительно $t$ решают с учётом $t>0$, затем возвращаются к $x$
• $$f>0,\ g>0,\ a>0,\ a\ne1$$ОДЗ: условия для $\log_a f$ и $\log_a g$
• $$\log_a x^{2}=2\log_a|x|$$при вынесении чётной степени ставят модуль, иначе теряются решения с $x<0$
• $$t=\log_a x$$замена в неравенствах вида $\log_a^{2}x+p\log_a x+q>0$; возврат: $x=a^{t}>0$
• $$\operatorname{sign}\left(\log_h f-\log_h g\right)=\operatorname{sign}\left((h-1)(f-g)\right)$$метод рационализации; на ОДЗ: $f>0$, $g>0$, $h>0$, $h\ne1$ ЕГЭ профиль
• $$\operatorname{sign}\left(\log_h f\right)=\operatorname{sign}\left((h-1)(f-1)\right)$$знак логарифма при $h>0$, $h\ne1$, $f>0$ ЕГЭ профиль
• $$\operatorname{sign}\left(a^{f}-a^{g}\right)=\operatorname{sign}\left((a-1)(f-g)\right)$$рационализация показательного неравенства, $a>0$ ЕГЭ профиль
• $$\operatorname{sign}\left(|f|-|g|\right)=\operatorname{sign}\left((f-g)(f+g)\right)$$рационализация модулей ЕГЭ профиль
• $$\operatorname{sign}\left(\sqrt{f}-\sqrt{g}\right)=\operatorname{sign}(f-g)$$на ОДЗ $f\ge0$, $g\ge0$ ЕГЭ профиль
• $$x\in\text{решение}\cap\text{ОДЗ}$$решение неравенства всегда пересекают с ОДЗ: ответ должен лежать в области определения всех логарифмов
• $$a^{f}>a^{g}\iff\begin{cases} f>g, & a>1,\\ f<g, & 0<a<1\end{cases}$$сравнение степеней с одним основанием
• $$a^{f}>b\iff\begin{cases} f>\log_a b, & a>1,\\ f<\log_a b, & 0<a<1\end{cases}$$простейшее показательное неравенство, $b>0$
• $$\log_a f>\log_a g\iff\begin{cases} f>g>0, & a>1,\\ 0<f<g, & 0<a<1\end{cases}$$одинаковые основания
• $$\log_a f>c\iff\begin{cases} f>a^{c}, & a>1,\\ 0<f<a^{c}, & 0<a<1\end{cases}$$логарифм больше числа
• $$\log_a f<c\iff\begin{cases} 0<f<a^{c}, & a>1,\\ f>a^{c}, & 0<a<1\end{cases}$$логарифм меньше числа
• $$\log_{h}f>\log_{h}g\iff\begin{cases}(h-1)(f-g)>0,\\ f>0,\ g>0,\\ h>0,\ h\ne1\end{cases}$$неравенство с переменным основанием ЕГЭ профиль