Квадратные неравенства: формулы

Квадратное неравенство решают по знаку старшего коэффициента и корням трёхчлена: рисуют схематичную параболу и выбирают нужные промежутки. Здесь $f(x)=ax^2+bx+c$, корни $x_1<x_2$.

Подходит для: ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ. Раздел: алгебра.

• $$a>0,\ D>0:\quad f>0\iff x<x_1\ \text{или}\ x>x_2$$вне корней; для «$\ge$» корни включают
• $$a>0,\ D>0:\quad f<0\iff x_1<x<x_2$$между корнями; для «$\le$» корни включают
• $$a>0,\ D=0:\quad f\ge0\ \forall x,\ \ f>0\iff x\ne x_0,\ \ f\le0\iff x=x_0$$$x_0=-\dfrac{b}{2a}$; неравенство $f<0$ решений не имеет
• $$a>0,\ D<0:\quad f>0\ \forall x$$парабола выше оси; неравенства $f\le0$ и $f<0$ решений не имеют
• $$a<0$$обе части умножают на $-1$ и меняют знак неравенства, затем используют правила для $a>0$
• $$ax^{2}+bx+c>0\ \forall x\iff a>0,\ D<0$$трёхчлен положителен при всех $x$ ЕГЭ профиль
• $$(x-x_1)(x-x_2)<0\iff x_1<x<x_2$$записано через корни
• $$x^{2}<m\iff -\sqrt{m}<x<\sqrt{m}$$при $m>0$; при $m\le0$ решений нет
• $$x^{2}>m\iff x<-\sqrt{m}\ \text{или}\ x>\sqrt{m}$$при $m>0$; при $m<0$ верно для всех $x$
• $$f^{2}>0\iff f\ne0,\quad f^{2}\le0\iff f=0$$квадрат любого выражения неотрицателен
• $$\dfrac{f}{g}>0\iff fg>0,\quad \dfrac{f}{g}<0\iff fg<0$$дробное неравенство сводят к произведению
• $$\dfrac{f}{g}\ge0\iff\begin{cases} fg\ge0,\\ g\ne0\end{cases}$$для нестрогого неравенства знаменатель не равен нулю
• $$(x-x_1)^{k_1}\cdots(x-x_n)^{k_n}\gtrless0$$метод интервалов: знаки произведения чередуются при переходе через корни нечётной кратности; через корень чётной кратности знак не меняется
• $$a<f<b\iff\begin{cases} f>a,\\ f<b\end{cases}$$двойное неравенство решают как систему; решение системы — пересечение, совокупности — объединение
• $$\sqrt{f}<g\iff\begin{cases} f\ge0,\\ g>0,\\ f<g^{2}\end{cases}$$иррациональное неравенство ЕГЭ профиль
• $$\sqrt{f}>g\iff\left[\begin{array}{l}\begin{cases} g<0,\\ f\ge0\end{cases}\\ \begin{cases} g\ge0,\\ f>g^{2}\end{cases}\end{array}\right.$$иррациональное неравенство, два случая ЕГЭ профиль
• $$\sqrt{f}:\ f\ge0;\quad \dfrac{1}{\sqrt{f}}:\ f>0$$область определения выражения