Задание 1 ОГЭ по математике: практическая задача

Формулы к заданию 1

Дроби и пропорции

• $\dfrac{a}{b}=\dfrac{ak}{bk}$ — основное свойство дроби, $b\ne0$, $k\ne0$; на нём держатся сокращение и приведение к общему знаменателю
• $\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{b}=\dfrac{a\pm c}{b}$ — сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
• $\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad\pm bc}{bd}$ — с разными знаменателями; удобнее брать общий знаменатель, равный НОК$(b,d)$
• $\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}$ — умножение: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель
• $\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}=\dfrac{ad}{bc}$ — деление, $c\ne0$

Проценты

• $1\%=\dfrac{1}{100},\quad 10\%=\dfrac{1}{10},\ 20\%=\dfrac{1}{5},\ 25\%=\dfrac{1}{4},\ 50\%=\dfrac{1}{2},\ 75\%=\dfrac{3}{4}$ — проценты как дроби
• $\dfrac{p}{100}\cdot A$ — $p\%$ от числа $A$
• $A=\dfrac{100B}{p}$ — число, $p\%$ которого равны $B$
• $\dfrac{a}{b}\cdot100\%$ — сколько процентов число $a$ составляет от $b$
• $A\left(1+\dfrac{p}{100}\right)$ — число $A$, увеличенное на $p\%$

Единицы измерения

• $1\ \text{км}=1000\ \text{м},\quad 1\ \text{м}=100\ \text{см}=1000\ \text{мм}$ — длина
• $1\ \text{м}^2=10\,000\ \text{см}^2,\quad 1\ \text{км}^2=1\,000\,000\ \text{м}^2$ — площадь
• $1\ \text{а}=100\ \text{м}^2,\quad 1\ \text{га}=10\,000\ \text{м}^2$ — ар (сотка) и гектар
• $1\ \text{м}^3=1000\ \text{л},\quad 1\ \text{л}=1\ \text{дм}^3=1000\ \text{см}^3=1000\ \text{мл}$ — объём и вместимость
• $1\ \text{т}=1000\ \text{кг},\quad 1\ \text{ц}=100\ \text{кг},\quad 1\ \text{кг}=1000\ \text{г}$ — масса

Масштаб, участки и размеры

• $\text{масштаб }1:k$ — $1$ единица на плане равна $k$ таких же единиц на местности
• $L_{\text{реал}}=L_{\text{план}}\cdot k$ — реальная длина по длине на плане
• $L_{\text{план}}=\dfrac{L_{\text{реал}}}{k}$ — длина на плане по реальной
• $S_{\text{реал}}=S_{\text{план}}\cdot k^2$ — площади связаны квадратом масштаба
• $V_{\text{реал}}=V_{\text{модель}}\cdot k^3$ — объёмы связаны кубом масштаба

Тарифы, расход и проценты в быту

• $C=n\cdot c$ — стоимость $n$ единиц товара по цене $c$
• $c=\dfrac{C}{n}$ — цена единицы товара; так сравнивают разные упаковки
• $C=a+b\cdot t$ — тариф с абонентской платой $a$ и ценой $b$ за единицу $t$ (минуту, мегабайт)
• $C=a+b\cdot\max(0,\ t-t_0)$ — в тариф входит пакет $t_0$, плата только за превышение
• $W=P\cdot t$ — энергия в кВт·ч: мощность в кВт, умноженная на время в часах; стоимость $=W\cdot\text{тариф}$

Графики, диаграммы и статистика

• $\dfrac{\text{разность соседних подписей}}{\text{число делений между ними}}$ — цена деления шкалы
• $\Delta y=y_2-y_1$ — изменение величины: при $\Delta y>0$ — рост, при $\Delta y<0$ — падение
• $\dfrac{y_2-y_1}{y_1}\cdot100\%$ — изменение в процентах от начального значения $y_1$
• $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ — скорость изменения: чем круче участок графика, тем быстрее меняется величина
• $\alpha=\dfrac{p}{100}\cdot360^\circ$ — угол сектора круговой диаграммы для доли $p\%$

Примеры с решениями

Условия — в стиле заданий ФИПИ. Сначала попробуйте решить сами, потом откройте подсказки и решение.