Задание 9 ЕГЭ профиль по математике: прикладная задача

ЕГЭ по математике (профиль) · задание 9 · часть 1, краткий ответ · до 1 балла. В банке «Корень» — 107 задач этого номера: расчёты по формулам, неравенства, логарифмы.

Формулы к заданию 9

Расчёты по формулам

$y=f(x)$ — подстановка: заменяют переменные числами из условия и вычисляют; десятичные дроби и степени проверяют отдельно
$F=ma$ — второй закон Ньютона: сила = масса $\times$ ускорение
$I=\dfrac{U}{R}$ — закон Ома: сила тока = напряжение / сопротивление; $P=UI$ — мощность
$P=I^2R=\dfrac{U^2}{R}$ — мощность через сопротивление
$T=t_C+273$ — температура по шкале Кельвина (приближённо)

Формулы из физики в задачах

$v=\dfrac{s}{t},\quad s=vt$ — равномерное движение: скорость, путь, время
$v=v_0+at,\quad s=v_0t+\dfrac{at^2}{2}$ — равноускоренное движение
$a=\dfrac{v^2}{R}$ — центростремительное ускорение при движении по окружности радиуса $R$
$F=ma$ — второй закон Ньютона: сила = масса $\times$ ускорение
$F=\mu N$ — сила трения скольжения, $N$ — сила реакции опоры

Примеры с решениями

Условия — в стиле заданий ФИПИ. Сначала попробуйте решить сами, потом откройте подсказки и решение.

Пример 1

сложность: базовая

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой $f_0 = 198$ МГц. Скорость погружения батискафа (в м/с) определяется по формуле $v = c\cdot\dfrac{f - f_0}{f + f_0}$ , где $c = 1500$ м/с — скорость звука в воде, $f_0$ — частота испускаемых импульсов (в МГц), $f$ — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите скорость погружения батискафа, если $f = 202$ МГц. Ответ выразите в м/с.

Подсказки

Подставьте значения в формулу.
$f - f_0 = 4$ , $f + f_0 = 400$ .
Вычислите $1500\cdot\dfrac{4}{400}$ .

Решение

$v = 1500\cdot\dfrac{202 - 198}{202 + 198} = 1500\cdot\dfrac{4}{400} = 15$ м/с. Ответ: 15.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV^k = \mathrm{const}$ , где $p$ — давление газа (в атмосферах), $V$ — объём газа (в литрах), $k = \dfrac{4}{3}$ . Газ, занимавший объём 2,7 л при давлении 2 атм, сжали до объёма 0,1 л. Найдите давление газа после сжатия. Ответ дайте в атмосферах.

Подсказки

$p_1V_1^{4/3} = p_2V_2^{4/3}$ , откуда $p_2 = p_1\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{4/3}$ .
$\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{2{,}7}{0{,}1} = 27 = 3^3$ .
$\left(3^3\right)^{4/3} = 3^4$ . Умножьте на $p_1$ .

Решение

$\dfrac{V_1}{V_2} = 27$ , $p_2 = 2 \cdot 27^{4/3} = 2 \cdot 81 = 162$ атм. Ответ: 162.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV^k = \mathrm{const}$ , где $p$ — давление газа (в атмосферах), $V$ — объём газа (в литрах), $k = \dfrac{4}{3}$ . Газ сжали, и его давление выросло с 1,5 до 121,5 атм. Найдите объём газа после сжатия, если первоначально он занимал 13,5 л. Ответ дайте в литрах.

Подсказки

$p_1V_1^{4/3} = p_2V_2^{4/3}$ , откуда $\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{4/3} = \dfrac{p_2}{p_1}$ .
$\dfrac{p_2}{p_1} = 81 = 3^4$ , значит, $\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{1/3} = 3$ .
$\dfrac{V_1}{V_2} = 3^3 = 27$ . Найдите $V_2$ .

Решение

$\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{4/3} = \dfrac{121{,}5}{1{,}5} = 81$ , поэтому $\dfrac{V_1}{V_2} = 81^{3/4} = 27$ и $V_2 = \dfrac{13{,}5}{27} = 0{,}5$ л. Ответ: 0,5.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой $f_0 = 897$ МГц. Скорость погружения батискафа (в м/с) определяется по формуле $v = c\cdot\dfrac{f - f_0}{f + f_0}$ , где $c = 1500$ м/с — скорость звука в воде, $f_0$ — частота испускаемых импульсов (в МГц), $f$ — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите скорость погружения батискафа, если $f = 903$ МГц. Ответ выразите в м/с.

Подсказки

Подставьте значения в формулу.
$f - f_0 = 6$ , $f + f_0 = 1800$ .
Вычислите $1500\cdot\dfrac{6}{1800}$ .

Решение

$v = 1500\cdot\dfrac{903 - 897}{903 + 897} = 1500\cdot\dfrac{6}{1800} = 5$ м/с. Ответ: 5.

Решить в Telegram

Пример 5

сложность: средняя

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием $f = 28$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 28 до 47 см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от 204 до 224 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение $\dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2} = \dfrac{1}{f}$ . Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ дайте в сантиметрах.

Подсказки

Выразите $\dfrac{1}{d_1} = \dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{d_2}$ . Чем меньше $d_1$ , тем больше $\dfrac{1}{d_1}$ .
$\dfrac{1}{d_1}$ наибольшее, когда $\dfrac{1}{d_2}$ наименьшее, то есть при наибольшем $d_2 = 224$ .
Подставьте: $\dfrac{1}{d_1} = \dfrac{1}{28} - \dfrac{1}{224}$ и приведите к общему знаменателю.

Решение

$\dfrac{1}{d_1} = \dfrac{1}{28} - \dfrac{1}{d_2}$ ; $d_1$ наименьшее при наибольшем $d_2 = 224$ : $\dfrac{1}{d_1} = \dfrac{1}{28} - \dfrac{1}{224} = \dfrac{196}{6272} = \dfrac{1}{32}$ , откуда $d_1 = 32$ см. Это значение лежит в допустимых пределах от 28 до 47 см. Ответ: 32.

Решить в Telegram