Первообразная: формулы

$F$ — первообразная для $f$, если $F'(x)=f(x)$. Любые две первообразные одной функции отличаются на константу.

Подходит для: ЕГЭ профиль. Раздел: функции.

• $$F'(x)=f(x)$$определение первообразной на промежутке
• $$F(x)+C$$общий вид первообразных, $C$ — любая константа
• $$0 \to C,\quad k \to kx+C$$первообразные нуля и константы
• $$x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$$степень, $n\ne-1$; например $x^2\to\dfrac{x^3}{3}$
• $$\dfrac1x \to \ln|x|+C$$первообразная для $\dfrac1x$ на промежутках, не содержащих нуль
• $$\dfrac{1}{x^2} \to -\dfrac1x+C,\quad \dfrac{1}{\sqrt{x}} \to 2\sqrt{x}+C$$частные случаи степени
• $$e^x \to e^x+C,\quad a^x \to \dfrac{a^x}{\ln a}+C$$показательная функция, $a>0$, $a\ne1$
• $$\sin x \to -\cos x+C,\quad \cos x \to \sin x+C$$синус и косинус
• $$\dfrac{1}{\cos^2x} \to \operatorname{tg}x+C,\quad \dfrac{1}{\sin^2x} \to -\operatorname{ctg}x+C$$на промежутках, где функции определены
• $$f+g \to F+G,\quad kf \to kF$$первообразная суммы и постоянного множителя
• $$f(kx+b) \to \dfrac1k F(kx+b)+C$$линейная замена аргумента, $k\ne0$
• $$F(x_0)=y_0$$условие, по которому находят $C$ у конкретной первообразной
• $$F'=f:\ f>0\Rightarrow F\uparrow,\ f<0\Rightarrow F\downarrow$$по графику $f$ определяют монотонность первообразной; экстремумы $F$ — там, где $f$ меняет знак
• $$F'(x_0)=f(x_0)=k$$касательная к графику первообразной в точке $x_0$ имеет угловой коэффициент $f(x_0)$
• $$\big(F(x)\big)'=f(x)$$проверка: производная найденной первообразной должна дать исходную функцию