Определённый интеграл и площадь: формулы

Площадь криволинейной трапеции под графиком неотрицательной функции равна разности значений первообразной на концах отрезка (формула Ньютона — Лейбница).

Подходит для: ЕГЭ профиль. Раздел: функции.

• $$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$$формула Ньютона — Лейбница, $F$ — любая первообразная $f$
• $$S=\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$$площадь криволинейной трапеции под графиком $f(x)\ge0$ на $[a;\,b]$
• $$S=\displaystyle\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)dx$$площадь фигуры между графиками при $f(x)\ge g(x)$ на $[a;\,b]$
• $$f\le0\Rightarrow S=-\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$$под осью $Ox$ интеграл отрицателен, площадь равна его модулю
• $$\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx=0,\quad \int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx$$граничные свойства
• $$\displaystyle\int_a^b kf(x)\,dx=k\int_a^b f(x)\,dx$$постоянный множитель выносят за знак интеграла
• $$\displaystyle\int_a^b \big(f(x)\pm g(x)\big)dx=\int_a^b f(x)\,dx\pm\int_a^b g(x)\,dx$$интеграл суммы и разности
• $$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx$$разбиение отрезка интегрирования
• $$\displaystyle\int_a^b x^n\,dx=\dfrac{b^{n+1}-a^{n+1}}{n+1}$$интеграл степени, $n\ne-1$
• $$\displaystyle\int_a^b \dfrac{dx}{x}=\ln\dfrac{b}{a}$$при $0<a<b$ (или $a<b<0$)
• $$\displaystyle\int_a^b e^x\,dx=e^b-e^a,\quad \int_a^b \sin x\,dx=\cos a-\cos b$$показательная функция и синус
• $$S=\displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx$$площадь, если $f$ меняет знак: разбивают отрезок на части знакопостоянства
• $$S=\dfrac{(b-a)(f(a)+f(b))}{2}$$площадь трапеции под линейной функцией на $[a;\,b]$; для таких функций интеграл считают по формуле площади
• $$S=F(b)-F(a)$$по рисунку графика $F$ (первообразной) площадь находят по разности значений на концах ЕГЭ профиль
• $$\displaystyle\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$$приращение функции равно интегралу от её производной