Степени и корни: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «степени и корни» встречается в 12 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ). В банке «Корень» — 400 задач по этой теме.

Где встречается

сложность: базовая

Найдите значение выражения $0{,}8 \cdot (-10)^{4} - 61$ .

Подсказки

Сначала возведите в степень: чётная степень отрицательного числа положительна, нечётная — отрицательна.
$(-10)^{4} = 10000$ .
$0{,}8 \cdot 10000 = 8000$ . Осталось вычесть 61.

Решение

$(-10)^{4} = 10000$ , $0{,}8 \cdot 10000 = 8000$ , $8000 - 61 = 7939$ . Ответ: 7939.

сложность: средняя

Найдите значение выражения $\sqrt{(2-5)^2}$ .

Подсказки

Корень из квадрата числа — не обязательно само число.
Сначала вычислите выражение в скобках, затем возведите в квадрат.
Результат арифметического квадратного корня не бывает отрицательным: $\sqrt{a^2} = |a|$ .

Решение

$\sqrt{(2-5)^2} = \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$ . Можно и так: $\sqrt{a^2} = |a|$ , поэтому $|2-5| = 3$ . Ответ: 3.

сложность: повышенная

Найдите значение выражения $125^{-\frac{1}{3}}$ .

Подсказки

Дробный показатель означает корень: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ . Запишите показатель дробью.
Заметьте, что $125 = 5^{3}$ , поэтому $125^{-\frac{1}{3}} = 5^{3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}$ .
Перемножьте показатели: $3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) =-1$ . Осталось вычислить степень числа $5$ (отрицательный показатель означает обратное число).

Решение

$125 = 5^{3}$ , поэтому $125^{-\frac{1}{3}} = 5^{-1} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$ . Ответ: 0,2.

сложность: базовая

Найдите значение выражения $0{,}5 \cdot (-10)^{4} + 12$ .

Подсказки

Сначала возведите в степень: чётная степень отрицательного числа положительна, нечётная — отрицательна.
$(-10)^{4} = 10000$ .
$0{,}5 \cdot 10000 = 5000$ . Осталось прибавить 12.

Решение

$(-10)^{4} = 10000$ , $0{,}5 \cdot 10000 = 5000$ , $5000 + 12 = 5012$ . Ответ: 5012.