Неравенства: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «неравенства» встречается в 8 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ). В банке «Корень» — 287 задач по этой теме.

Где встречается

ЕГЭ профиль, задание 9: Прикладная задача — 45 задач
ЕГЭ профиль, задание 15: Неравенства — 15 задач
ЕГЭ профиль, задание 16: Финансовая задача — 3 задачи
ЕГЭ профиль, задание 18: Параметр — 1 задача
ЕГЭ база, задание 18: Неравенства и числовая прямая — 54 задачи
ОГЭ, задание 7: Числа на прямой — 56 задач
ОГЭ, задание 13: Неравенства — 110 задач
ОГЭ, задание 20: Алгебраические выражения — 3 задачи

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: базовая

Компания продаёт свою продукцию по цене $p = 600$ руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют $v = 300$ руб., постоянные затраты предприятия $f = 730000$ руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле $\pi(q) = q(p - v) - f$ . Определите наименьший месячный объём производства $q$ (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 29000 руб.

Подсказки

Подставьте числа: $q(600 - 300) - 730000 \ge 29000$ .
$300q \ge 759000$ .
Разделите обе части на 300.

Решение

$q(600 - 300) - 730000 \ge 29000 \iff 300q \ge 759000 \iff q \ge 2530$ . Наименьший объём — 2530 единиц. Ответ: 2530.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Неравенства	Решения
А) $\log_{\frac{1}{3}} x \le 2$	1) $(0;\,9]$
Б) $\log_{3} x \ge 2$	2) $(0;\,\frac{1}{9}]$
В) $\log_{\frac{1}{3}} x \ge 2$	3) $[\frac{1}{9};\,+\infty)$
Г) $\log_{3} x \le 2$	4) $[9;\,+\infty)$

В ответе запишите номера решений, соответствующих неравенствам А, Б, В, Г, подряд без пробелов.

Подсказки

Логарифм определён только при $x > 0$ . Запишите число справа как логарифм с тем же основанием.
Например, $2 = \log_{3} 9$ , а $2 = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{9}$ .
При основании больше $1$ знак неравенства для $x$ сохраняется, при основании меньше $1$ — меняется. Не забудьте ограничение $x > 0$ .

Решение

А) $\log_{\frac{1}{3}} x \le 2$ : $2 = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{9}$ , основание меньше $1$ , знак меняется; с учётом $x > 0$ получаем $[\frac{1}{9};\,+\infty)$ — это вариант 3. Б) $\log_{3} x \ge 2$ : $2 = \log_{3} 9$ , основание больше $1$ ; с учётом $x > 0$ получаем $[9;\,+\infty)$ — это вариант 4. В) $\log_{\frac{1}{3}} x \ge 2$ : $2 = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{9}$ , основание меньше $1$ , знак меняется; с учётом $x > 0$ получаем $(0;\,\frac{1}{9}]$ — это вариант 2. Г) $\log_{3} x \le 2$ : $2 = \log_{3} 9$ , основание больше $1$ ; с учётом $x > 0$ получаем $(0;\,9]$ — это вариант 1. Ответ: 3421.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью $v_0 = 25$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a = 2$ м/с². За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь $S = v_0t - \dfrac{at^2}{2}$ (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 114 м. Ответ выразите в секундах.

Подсказки

Составьте уравнение $25t - \dfrac{2t^2}{2} = 114$ .
Умножьте на 2: $2t^2 - 50t + 228 = 0$ .
Из двух корней подходит тот, что меньше момента остановки $t = \dfrac{v_0}{a} = 12{,}5$ с.

Решение

$25t - \dfrac{2t^2}{2} = 114 \iff 2t^2 - 50t + 228 = 0$ , корни $t = 6$ и $t = 19$ . Автомобиль останавливается через $\dfrac{25}{2} = 12{,}5$ с, после этого формула не действует, поэтому $t = 6$ . Ответ: 6.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

Компания продаёт свою продукцию по цене $p = 1300$ руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют $v = 1150$ руб., постоянные затраты предприятия $f = 140000$ руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле $\pi(q) = q(p - v) - f$ . Определите наименьший месячный объём производства $q$ (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 200500 руб.

Подсказки

Подставьте числа: $q(1300 - 1150) - 140000 \ge 200500$ .
$150q \ge 340500$ .
Разделите обе части на 150.

Решение

$q(1300 - 1150) - 140000 \ge 200500 \iff 150q \ge 340500 \iff q \ge 2270$ . Наименьший объём — 2270 единиц. Ответ: 2270.

Решить в Telegram