Треугольники: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «треугольники» встречается в 10 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ). В банке «Корень» — 170 задач по этой теме.

Где встречается

ЕГЭ профиль, задание 1: Планиметрия — 25 задач
ЕГЭ профиль, задание 17: Планиметрия — 9 задач
ЕГЭ база, задание 9: Фигуры на клетчатой бумаге — 6 задач
ЕГЭ база, задание 12: Планиметрия — 20 задач
ОГЭ, задание 15: Треугольники — 75 задач
ОГЭ, задание 16: Окружность — 14 задач
ОГЭ, задание 18: Фигуры на клетках — 6 задач
ОГЭ, задание 23: Геометрия: вычисления — 5 задач
ОГЭ, задание 24: Геометрия: доказательство — 7 задач
ОГЭ, задание 25: Геометрия повышенной сложности — 3 задачи

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: базовая

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник $ABC$ . Найдите длину его средней линии, параллельной стороне $AC$ .

Подсказки

Средняя линия треугольника параллельна стороне и равна её половине.
Сторона $AC$ идёт по линии сетки, её длина — 5 клеток.
Средняя линия равна $\dfrac{5}{2}$ .

Решение

$AC = 5$ , средняя линия равна $\dfrac{5}{2} = 2{,}5$ . Ответ: 2,5.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $58^\circ$ , угол $C$ равен $76^\circ$ . Отрезок $AD$ — биссектриса. Найдите угол $ADB$ . Ответ дайте в градусах.

Подсказки

Найдите угол $A$ по сумме углов треугольника, затем половину этого угла.
$\angle A = 180^\circ - 58^\circ - 76^\circ = 46^\circ$ , $\angle BAD = 23^\circ$ .
В треугольнике $ABD$ известны углы $B$ и $BAD$ ; найдите третий угол.

Решение

$\angle A = 180^\circ - 58^\circ - 76^\circ = 46^\circ$ , $\angle BAD = 23^\circ$ . В треугольнике $ABD$ : $\angle ADB = 180^\circ - 58^\circ - 23^\circ = 99^\circ$ . Ответ: 99.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

Биссектрисы углов $A$ и $B$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$ . Найдите угол $AOB$ , если угол $C$ равен $56^\circ$ . Ответ дайте в градусах.

Подсказки

Рассмотрите треугольник $AOB$ : $AO$ и $BO$ делят углы $A$ и $B$ пополам.
Сумма углов $A$ и $B$ равна $180^\circ - 56^\circ$ .
В треугольнике $AOB$ : $\angle AOB = 180^\circ - \dfrac{\angle A + \angle B}{2}$ .

Решение

$\angle A + \angle B = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ$ . В треугольнике $AOB$ : $\angle AOB = 180^\circ - \dfrac{\angle A + \angle B}{2} = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ$ . Ответ: 118.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

Подсказки

Средняя линия треугольника параллельна стороне и равна её половине.
Сторона $AC$ идёт по линии сетки, её длина — 8 клеток.
Средняя линия равна $\dfrac{8}{2}$ .

Решение

$AC = 8$ , средняя линия равна $\dfrac{8}{2} = 4$ . Ответ: 4.

Решить в Telegram