Прямоугольный треугольник: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «прямоугольный треугольник» встречается в 13 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ). В банке «Корень» — 213 задач по этой теме.

Где встречается

ЕГЭ профиль, задание 1: Планиметрия — 19 задач
ЕГЭ профиль, задание 17: Планиметрия — 5 задач
ЕГЭ база, задание 9: Фигуры на клетчатой бумаге — 24 задачи
ЕГЭ база, задание 10: Практическая планиметрия — 8 задач
ЕГЭ база, задание 12: Планиметрия — 27 задач
ЕГЭ база, задание 13: Стереометрия — 1 задача
ОГЭ, задание 4: Практическая задача — 11 задач
ОГЭ, задание 15: Треугольники — 52 задачи
ОГЭ, задание 16: Окружность — 30 задач
ОГЭ, задание 17: Четырёхугольники — 13 задач
ОГЭ, задание 18: Фигуры на клетках — 11 задач
ОГЭ, задание 23: Геометрия: вычисления — 7 задач
ОГЭ, задание 25: Геометрия повышенной сложности — 5 задач

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: базовая

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён угол $AOB$ . Найдите его величину в градусах.

Подсказки

Луч $OB$ проходит по диагонали клеток: он поднимается на столько же клеток, на сколько смещается вбок.
Опустите перпендикуляр из $B$ на прямую $OA$ : получится равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами по 3 клеток.
Угол $AOB$ смежный с острым углом такого треугольника: вместе они составляют развёрнутый угол.

Решение

Острый угол равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами $3$ и $3$ равен $45^\circ$ ; угол $AOB$ смежный с ним: $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ . Ответ: 135.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён угол $AOB$ . Найдите тангенс этого угла.

Подсказки

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
Опустите перпендикуляр из точки $B$ на прямую $OA$ — получится прямоугольный треугольник с катетами по линиям сетки.
Противолежащий катет — 4, прилежащий — 1 клеток.

Решение

В прямоугольном треугольнике с вершиной $O$ противолежащий катет равен $4$ , прилежащий — $1$ . $\operatorname{tg} \angle AOB = \dfrac{4}{1} = 4$ . Ответ: 4.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

Высота $BH$ ромба $ABCD$ делит его сторону $AD$ на отрезки $AH = 16$ и $HD = 18$ . Найдите площадь ромба.

Подсказки

Все стороны ромба равны; площадь ромба равна произведению стороны на высоту.
$AD = 16 + 18 = 34$ , значит, и $AB = 34$ .
Из прямоугольного треугольника $ABH$ : $BH = \sqrt{34^2 - 16^2}$ .

Решение

$AB = AD = 16 + 18 = 34$ , $BH = \sqrt{1156 - 256} = 30$ , $S = AD \cdot BH = 34 \cdot 30 = 1020$ . Ответ: 1020.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён угол $AOB$ . Найдите его величину в градусах.

Подсказки

Луч $OB$ проходит по диагонали клеток: он поднимается на столько же клеток, на сколько смещается вбок.
Опустите перпендикуляр из $B$ на прямую $OA$ : получится равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами по 4 клеток.
Угол $AOB$ смежный с острым углом такого треугольника: вместе они составляют развёрнутый угол.

Решение

Острый угол равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами $4$ и $4$ равен $45^\circ$ ; угол $AOB$ смежный с ним: $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ . Ответ: 135.

Решить в Telegram