Графики функций: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «графики функций» встречается в 5 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ). В банке «Корень» — 283 задачи по этой теме.

Где встречается

ЕГЭ профиль, задание 11: Графики функций — 110 задач
ЕГЭ профиль, задание 18: Параметр — 2 задачи
ЕГЭ база, задание 7: Графики и производная — 46 задач
ОГЭ, задание 11: Графики функций — 110 задач
ОГЭ, задание 22: Графики — 15 задач

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: базовая

На рисунке изображён график функции $y = f(x)$ и отмечены точки A, B, C и D на оси $Ox$ . Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и её производной.

Точки	Характеристики
A	1) значение функции в точке отрицательно, а значение производной функции в точке положительно
B	2) значение функции в точке отрицательно, и значение производной функции в точке отрицательно
C	3) значение функции в точке положительно, а значение производной функции в точке отрицательно
D	4) значение функции в точке положительно, и значение производной функции в точке положительно

В ответ запишите номера характеристик, соответствующих точкам A, B, C, D, подряд без пробелов.

Подсказки

Знак значения функции видно по тому, выше или ниже оси $Ox$ проходит график; знак производной — по тому, возрастает функция в точке или убывает.
В точке A график ниже оси $Ox$ (значение функции отрицательно), функция возрастает (производная положительна).
В точке B график выше оси $Ox$ (значение функции положительно), функция возрастает (производная положительна); в точке C график выше оси $Ox$ (значение функции положительно), функция убывает (производная отрицательна); в точке D график ниже оси $Ox$ (значение функции отрицательно), функция убывает (производная отрицательна).

Решение

A: график ниже оси $Ox$ (значение функции отрицательно), функция возрастает (производная положительна) — характеристика 1. B: график выше оси $Ox$ (значение функции положительно), функция возрастает (производная положительна) — характеристика 4. C: график выше оси $Ox$ (значение функции положительно), функция убывает (производная отрицательна) — характеристика 3. D: график ниже оси $Ox$ (значение функции отрицательно), функция убывает (производная отрицательна) — характеристика 2. Ответ: 1432.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

На рисунке изображён график функции $y = f(x)$ . Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной на этом интервале.

Интервалы	Характеристики
А) $(-3;\ -1)$	1) функция убывает на интервале
Б) $(-1;\ 0)$	2) функция принимает только отрицательные значения на интервале
В) $(0;\ 2)$	3) функция принимает только положительные значения на интервале
Г) $(2;\ 4)$	4) функция возрастает на интервале

В ответ запишите номера характеристик, соответствующих интервалам А, Б, В, Г, подряд без пробелов.

Подсказки

Для каждого интервала выясните по графику: лежит ли график на нём целиком выше или ниже оси $Ox$ , и возрастает или убывает функция на всём интервале.
На интервале $(-3;\ -1)$ график выше оси $Ox$ , внутри есть точка экстремума; на интервале $(-1;\ 0)$ график пересекает ось $Ox$ , функция убывает.
На интервале $(0;\ 2)$ график ниже оси $Ox$ , внутри есть точка экстремума; на интервале $(2;\ 4)$ график ниже оси $Ox$ , функция возрастает. Учтите, что каждой характеристике соответствует ровно один интервал.

Решение

А) $(-3;\ -1)$ : график выше оси $Ox$ , внутри есть точка экстремума — характеристика 3. Б) $(-1;\ 0)$ : график пересекает ось $Ox$ , функция убывает — характеристика 1. В) $(0;\ 2)$ : график ниже оси $Ox$ , внутри есть точка экстремума — характеристика 2. Г) $(2;\ 4)$ : график ниже оси $Ox$ , функция возрастает — характеристика 4. Ответ: 3124.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

На рисунке изображён график функции $f(x) = \log_a(x + b)$ . Найдите $f(65)$ .

Подсказки

Вертикальная асимптота (пунктир) — прямая, где выражение под логарифмом обращается в ноль. По ней найдите сдвиг по $x$ .
Отмеченные точки: $(5;\ -2)$ , $(3;\ -1)$ , $(2;\ 0)$ . По ним найдите основание.
$f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x - 1)$ . Подставьте $x = 65$ .

Решение

По рисунку $f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x - 1)$ (проверьте по отмеченным точкам). Тогда $f(65) = \log_{\frac{1}{2}} 64 = -6$ . Ответ: −6.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

Точки	Характеристики
A	1) значение функции в точке положительно, а значение производной функции в точке отрицательно
B	2) значение функции в точке положительно, и значение производной функции в точке положительно
C	3) значение функции в точке отрицательно, и значение производной функции в точке отрицательно
D	4) значение функции в точке отрицательно, а значение производной функции в точке положительно

В ответ запишите номера характеристик, соответствующих точкам A, B, C, D, подряд без пробелов.

Подсказки

Знак значения функции видно по тому, выше или ниже оси $Ox$ проходит график; знак производной — по тому, возрастает функция в точке или убывает.
В точке A график ниже оси $Ox$ (значение функции отрицательно), функция возрастает (производная положительна).
В точке B график ниже оси $Ox$ (значение функции отрицательно), функция убывает (производная отрицательна); в точке C график выше оси $Ox$ (значение функции положительно), функция возрастает (производная положительна); в точке D график выше оси $Ox$ (значение функции положительно), функция убывает (производная отрицательна).

Решение

A: график ниже оси $Ox$ (значение функции отрицательно), функция возрастает (производная положительна) — характеристика 4. B: график ниже оси $Ox$ (значение функции отрицательно), функция убывает (производная отрицательна) — характеристика 3. C: график выше оси $Ox$ (значение функции положительно), функция возрастает (производная положительна) — характеристика 2. D: график выше оси $Ox$ (значение функции положительно), функция убывает (производная отрицательна) — характеристика 1. Ответ: 4321.

Решить в Telegram