Квадратные уравнения: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «квадратные уравнения» встречается в 8 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ). В банке «Корень» — 123 задачи по этой теме.

Где встречается

ЕГЭ профиль, задание 6: Простейшие уравнения — 24 задачи
ЕГЭ профиль, задание 10: Текстовая задача — 4 задачи
ЕГЭ профиль, задание 11: Графики функций — 7 задач
ЕГЭ профиль, задание 16: Финансовая задача — 1 задача
ЕГЭ профиль, задание 18: Параметр — 2 задачи
ЕГЭ база, задание 17: Уравнения — 20 задач
ОГЭ, задание 9: Уравнения — 58 задач
ОГЭ, задание 20: Алгебраические выражения — 7 задач

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: базовая

Найдите корень уравнения $x^2 - 4x - 21 = 0$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Подсказки

Это квадратное уравнение: найдите дискриминант или воспользуйтесь теоремой Виета.
По теореме Виета сумма корней равна $4$ , а произведение $-21$ .
Дискриминант $D = 100$ . Найдите оба корня и выберите меньший.

Решение

$D = (-4)^2 - 4 \cdot (-21) = 100$ , корни $x_1 = -3$ , $x_2 = 7$ . Меньший корень — $-3$ . Ответ: −3.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

Найдите корень уравнения $(x - 12)^2 = -48x$ .

Подсказки

Раскройте скобки в левой части и перенесите всё в одну сторону.
После переноса получается $x^2 + 24x + 144 = 0$ .
Левая часть — полный квадрат. Приравняйте к нулю выражение под квадратом.

Решение

$x^2 - 24x + 144 + 48x = 0$ , $x^2 + 24x + 144 = 0$ , $(x + 12)^2 = 0$ , $x = -12$ . Ответ: −12.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

Найдите корень уравнения $\sqrt{2x + 19} = x + 2$ .

Подсказки

Правая часть должна быть неотрицательной: $x + 2 \ge 0$ . Возведите обе части в квадрат и решите квадратное уравнение.
После возведения в квадрат: $2x + 19 = (x + 2)^2$ . Приведите уравнение к виду $x^2 + px + q = 0$ .
Найдите оба корня квадратного уравнения и проверьте каждый подстановкой в исходное уравнение (условие $x + 2 \ge 0$ ).

Решение

Возведём в квадрат: $2x + 19 = (x + 2)^2$ , откуда $x^2 + 2x - 15 = 0$ , $D = 64$ , корни $x = 3$ и $x = -5$ . Проверка: при $x = 3$ правая часть $x + 2$ равна $5 \ge 0$ — подходит; при $x = -5$ она равна $-3 < 0$ — посторонний корень. Ответ: 3.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

Найдите корень уравнения $x^2 - 25 = 0$ . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Подсказки

Это квадратное уравнение: найдите дискриминант или воспользуйтесь теоремой Виета.
По теореме Виета сумма корней равна $0$ , а произведение $-25$ .
Дискриминант $D = 100$ . Найдите оба корня и выберите меньший.

Решение

$D = 0^2 - 4 \cdot (-25) = 100$ , корни $x_1 = -5$ , $x_2 = 5$ . Меньший корень — $-5$ . Ответ: −5.

Решить в Telegram