Логарифмы: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «логарифмы» встречается в 11 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база). В банке «Корень» — 168 задач по этой теме.

Где встречается

сложность: базовая

Найдите значение выражения $\log_{3} 81$ .

Подсказки

Логарифм числа $b$ по основанию $a$ — показатель степени, в которую нужно возвести $a$ , чтобы получить $b$ .
Представьте 81 как степень числа 3.
Искомый логарифм равен показателю этой степени.

Решение

81 $= 3^{4}$ , поэтому $\log_{3} 81 = 4$ . Ответ: 4.

сложность: средняя

Найдите значение выражения $\log_{2} 11 \cdot \log_{11} 64$ .

Подсказки

Решение

$\log_{2} 11 \cdot \log_{11} 64 = \log_{2} 64 = 6$ . Ответ: 6.

сложность: повышенная

Найдите значение выражения $7^{\log_{49} 81}$ .

Подсказки

Перейдите к основанию $7$ : $\log_{49} 81 = \dfrac{1}{2}\log_{7} 81$ .
Тогда $7^{\frac{1}{2}\log_{7} 81} = \left(7^{\log_{7} 81}\right)^{\frac{1}{2}}$ .
Примените основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ .

Решение

$\log_{49} 81 = \dfrac{1}{2}\log_{7} 81$ , поэтому $7^{\log_{49} 81} = \left(7^{\log_{7} 81}\right)^{\frac{1}{2}} = 81^{\frac{1}{2}} = 9$ . Ответ: 9.

сложность: базовая

Найдите значение выражения $\log_{6} 180 + \log_{6} 0{,}2$ .

Подсказки

Решение

$\log_{6} 180 + \log_{6} 0{,}2 = \log_{6} (180 \cdot 0{,}2) = \log_{6} 36 = 2$ . Ответ: 2.