Значения тригонометрических функций: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «значения тригонометрических функций» встречается в 10 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ). В банке «Корень» — 157 задач по этой теме.

Где встречается

ЕГЭ профиль, задание 6: Простейшие уравнения — 15 задач
ЕГЭ профиль, задание 7: Вычисления и преобразования — 36 задач
ЕГЭ профиль, задание 12: Наибольшее и наименьшее — 16 задач
ЕГЭ база, задание 9: Фигуры на клетчатой бумаге — 15 задач
ЕГЭ база, задание 12: Планиметрия — 12 задач
ЕГЭ база, задание 14: Вычисления — 6 задач
ЕГЭ база, задание 16: Преобразования выражений — 22 задачи
ЕГЭ база, задание 17: Уравнения — 5 задач
ОГЭ, задание 15: Треугольники — 21 задача
ОГЭ, задание 18: Фигуры на клетках — 9 задач

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: базовая

Найдите значение выражения $\dfrac{5\cos 437^\circ}{\cos 77^\circ}$ .

Подсказки

Период функции $\cos$ равен $360^\circ$ .
$\cos 437^\circ = \cos(360^\circ + 77^\circ) = \cos 77^\circ$ .
Сократите дробь.

Решение

$\cos 437^\circ = \cos 77^\circ$ , поэтому выражение равно $5$ . Ответ: 5.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён угол $AOB$ . Найдите тангенс этого угла.

Подсказки

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
Опустите перпендикуляр из точки $B$ на прямую $OA$ — получится прямоугольный треугольник с катетами по линиям сетки.
Противолежащий катет — 4, прилежащий — 1 клеток.

Решение

В прямоугольном треугольнике с вершиной $O$ противолежащий катет равен $4$ , прилежащий — $1$ . $\operatorname{tg} \angle AOB = \dfrac{4}{1} = 4$ . Ответ: 4.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

В треугольнике $ABC$ $AB = 8$ , $AC = 7\sqrt{2}$ , $\angle BAC = 135^\circ$ . Найдите площадь треугольника $ABC$ .

Подсказки

Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.
$\sin 135^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .
$S = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 7\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

Решение

$S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 7\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 28$ . Ответ: 28.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

Найдите значение выражения $\dfrac{36\cos 738^\circ}{\cos 18^\circ}$ .

Подсказки

Период функции $\cos$ равен $360^\circ$ .
$\cos 738^\circ = \cos(720^\circ + 18^\circ) = \cos 18^\circ$ .
Сократите дробь.

Решение

$\cos 738^\circ = \cos 18^\circ$ , поэтому выражение равно $36$ . Ответ: 36.

Решить в Telegram