Решать в Telegram

Подобие: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «подобие» встречается в 10 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ). В банке «Корень» — 45 задач по этой теме.

Где встречается

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: средняя

Здание отбрасывает тень длиной 8 м. Рядом стоящий человек ростом 1,2 м отбрасывает тень длиной 2,4 м. Найдите высота здания в метрах.

Подсказки
  1. Солнечные лучи параллельны, поэтому треугольники «предмет — его тень» подобны.
  2. Высоты относятся так же, как длины теней.
  3. H1,2=82,4\dfrac{H}{1{,}2} = \dfrac{8}{2{,}4}.
Решение

Лучи параллельны, треугольники подобны: H1,2=82,4\dfrac{H}{1{,}2} = \dfrac{8}{2{,}4}, откуда H=1,2⋅82,4=4H = \dfrac{1{,}2 \cdot 8}{2{,}4} = 4. Ответ: 4.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: повышенная

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 13\dfrac{1}{3} высоты. Объём жидкости равен 3030 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Подсказки
  1. Жидкость заполняет конус, подобный сосуду (вершина у них общая).
  2. Коэффициент подобия 13\dfrac{1}{3}, поэтому объём сосуда в 33=273^3 = 27 раз больше объёма жидкости.
  3. Долить нужно 27⋅30−3027 \cdot 30 - 30 мл.
Решение

Жидкость образует конус, подобный сосуду с коэффициентом 13\dfrac{1}{3}, поэтому объём сосуда 27⋅30=81027 \cdot 30 = 810 мл. Долить нужно 810−30=780810 - 30 = 780 мл. Ответ: 780.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: средняя

Человек ростом 1,6 м стоит на расстоянии 7 м от столба, на котором висит фонарь. Длина тени человека равна 2 м. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь?

Подсказки
  1. Треугольник из столба, земли и луча света подобен треугольнику из человека, его тени и того же луча.
  2. Составьте пропорцию: высота фонаря относится к росту человека так же, как расстояние от столба до конца тени (7 + 2) относится к длине тени.
  3. H1,6=7+22\dfrac{H}{1{,}6} = \dfrac{7 + 2}{2}.
Решение

Треугольники подобны: H1,6=7+22\dfrac{H}{1{,}6} = \dfrac{7 + 2}{2}, откуда H=1,6⋅92=7,2H = \dfrac{1{,}6 \cdot 9}{2} = 7{,}2. Ответ: 7,2.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: повышенная

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 13\dfrac{1}{3} высоты. Объём жидкости равен 3232 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Подсказки
  1. Жидкость заполняет конус, подобный сосуду (вершина у них общая).
  2. Коэффициент подобия 13\dfrac{1}{3}, поэтому объём сосуда в 33=273^3 = 27 раз больше объёма жидкости.
  3. Долить нужно 27⋅32−3227 \cdot 32 - 32 мл.
Решение

Жидкость образует конус, подобный сосуду с коэффициентом 13\dfrac{1}{3}, поэтому объём сосуда 27⋅32=86427 \cdot 32 = 864 мл. Долить нужно 864−32=832864 - 32 = 832 мл. Ответ: 832.

Решить в Telegram