Дробно-рациональные уравнения: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «дробно-рациональные уравнения» встречается в 7 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ). В банке «Корень» — 58 задач по этой теме.

Где встречается

ЕГЭ профиль, задание 6: Простейшие уравнения — 14 задач
ЕГЭ профиль, задание 15: Неравенства — 1 задача
ЕГЭ база, задание 17: Уравнения — 10 задач
ЕГЭ база, задание 18: Неравенства и числовая прямая — 8 задач
ОГЭ, задание 9: Уравнения — 19 задач
ОГЭ, задание 20: Алгебраические выражения — 4 задачи
ОГЭ, задание 22: Графики — 2 задачи

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: базовая

Найдите корень уравнения $\dfrac{-6}{x + 4} = 1$ .

Подсказки

Знаменатель не равен нулю, поэтому обе части можно умножить на него.
Получится $-6 = 1(x + 4)$ .
Разделите обе части на $1$ : $x + 4 = -6$ .

Решение

$x + 4 = \dfrac{-6}{1} = -6$ , откуда $x = -10$ ; знаменатель при этом $-6 \ne 0$ . Ответ: −10.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

Найдите корень уравнения $\dfrac{x + 20}{x + 8} = \dfrac{4}{2}$ .

Подсказки

Воспользуйтесь основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.
$2(x + 20) = 4(x + 8)$ .
Раскройте скобки, соберите слагаемые с $x$ и найдите $x$ . Не забудьте проверить знаменатель.

Решение

$2x + 40 = 4x + 32$ , $-2x = -8$ , $x = 4$ . Знаменатель $x + 8 = 12 \ne 0$ . Ответ: 4.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

Найдите корень уравнения $\dfrac{x - 5}{x - 4} = \dfrac{x + 1}{x - 8}$ .

Подсказки

Область допустимых значений: $x \ne 4$ и $x \ne 8$ . Воспользуйтесь основным свойством пропорции.
$(x - 5)(x - 8) = (x + 1)(x - 4)$ . В обеих частях появится $x^2$ .
Слагаемые с $x^2$ сократятся; останется линейное уравнение $-10x = -44$ .

Решение

$(x - 5)(x - 8) = (x + 1)(x - 4)$ . После раскрытия скобок $x^2$ сокращается: $-10x = -44$ , $x = 4{,}4$ . Корень входит в область допустимых значений. Ответ: 4,4.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

Найдите корень уравнения $\dfrac{2}{x - 3} = -2$ .

Подсказки

Знаменатель не равен нулю, поэтому обе части можно умножить на него.
Получится $2 = -2(x - 3)$ .
Разделите обе части на $-2$ : $x - 3 = -1$ .

Решение

$x - 3 = \dfrac{2}{-2} = -1$ , откуда $x = 2$ ; знаменатель при этом $-1 \ne 0$ . Ответ: 2.

Решить в Telegram