Окружность и круг: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «окружность и круг» встречается в 10 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ). В банке «Корень» — 198 задач по этой теме.

Где встречается

ЕГЭ профиль, задание 1: Планиметрия — 30 задач
ЕГЭ профиль, задание 17: Планиметрия — 10 задач
ЕГЭ профиль, задание 18: Параметр — 1 задача
ЕГЭ база, задание 9: Фигуры на клетчатой бумаге — 9 задач
ЕГЭ база, задание 10: Практическая планиметрия — 3 задачи
ЕГЭ база, задание 12: Планиметрия — 15 задач
ОГЭ, задание 16: Окружность — 110 задач
ОГЭ, задание 23: Геометрия: вычисления — 6 задач
ОГЭ, задание 24: Геометрия: доказательство — 3 задачи
ОГЭ, задание 25: Геометрия повышенной сложности — 11 задач

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: базовая

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён круг. Найдите его площадь, делённую на $\pi$ .

Подсказки

Площадь круга равна $\pi R^2$ .
Радиус — расстояние от центра круга (узла сетки) до окружности; посчитайте его по клеткам.
Радиус равен 3 клеткам, остаётся возвести его в квадрат.

Решение

$R = 3$ , $S = \pi R^2 = 9\pi$ , поэтому $S/\pi = 9$ . Ответ: 9.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник $ABC$ . Найдите радиус описанной около него окружности.

Подсказки

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы.
Радиус равен половине гипотенузы.
Катеты равны 8 и 6 клеткам; гипотенузу найдите по теореме Пифагора.

Решение

Угол $A$ прямой, $BC = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ . Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: $R = 5$ . Ответ: 5.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

Из точки $A$ к окружности проведены касательная $AB$ ( $B$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $D$ и $C$ ( $D$ лежит между $A$ и $C$ ). Найдите $AB$ , если $AD = 2$ , $DC = 48$ .

Подсказки

Квадрат отрезка касательной равен произведению всей секущей на её внешнюю часть.
$AB^2 = AC \cdot AD$ , где $AC = AD + DC$ .
$AB^2 = (2 + 48) \cdot 2$ .

Решение

$AB^2 = AD \cdot AC = 2 \cdot (2 + 48) = 100$ , откуда $AB = 10$ . Ответ: 10.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

Прямая $AB$ касается окружности с центром $O$ в точке $B$ . Угол $AOB$ равен $30^\circ$ . Найдите угол $OAB$ . Ответ дайте в градусах.

Подсказки

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Треугольник $OAB$ прямоугольный с прямым углом $B$ .
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$ .

Решение

$\angle OBA = 90^\circ$ , поэтому $\angle OAB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ . Ответ: 60.

Решить в Telegram