Системы уравнений: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «системы уравнений» встречается в 6 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база, ОГЭ). В банке «Корень» — 27 задач по этой теме.

Где встречается

ЕГЭ профиль, задание 10: Текстовая задача — 8 задач
ЕГЭ профиль, задание 15: Неравенства — 1 задача
ЕГЭ профиль, задание 18: Параметр — 4 задачи
ЕГЭ база, задание 20: Текстовая задача — 3 задачи
ЕГЭ база, задание 21: Задача на смекалку — 7 задач
ОГЭ, задание 20: Алгебраические выражения — 4 задачи

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: повышенная

Смешав 80-процентный и 45-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 51-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 56.00000000000001-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 80-процентного раствора использовали для получения смеси?

Подсказки

Пусть взяли $x$ кг 80-процентного и $y$ кг 45-процентного раствора. Масса смеси в обоих случаях $x + y + 10$ .
Кислоты в первом случае: $0{,}8x + 0{,}45y = 0{,}51(x + y + 10)$ ; во втором добавилось $5$ кг кислоты: $0{,}8x + 0{,}45y + 5 = 0{,}56(x + y + 10)$ .
Вычтя первое уравнение из второго, найдите $x + y$ , затем подставьте в первое.

Решение

Вычтем уравнения: $5 = 0{,}05(x + y + 10)$ , откуда $x + y + 10 = 100$ , $x + y = 90$ . Тогда $0{,}8x + 0{,}45(90 - x) = 0{,}51 \cdot 100 = 51$ , откуда $x = 30$ . Ответ: 30.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: повышенная

Смешав 50-процентный и 30-процентный растворы кислоты и добавив 20 кг чистой воды, получили 34-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 20 кг воды добавили 20 кг 60-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 46-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 50-процентного раствора использовали для получения смеси?

Подсказки

Пусть взяли $x$ кг 50-процентного и $y$ кг 30-процентного раствора. Масса смеси в обоих случаях $x + y + 20$ .
Кислоты в первом случае: $0{,}5x + 0{,}3y = 0{,}34(x + y + 20)$ ; во втором добавилось $12$ кг кислоты: $0{,}5x + 0{,}3y + 12 = 0{,}46(x + y + 20)$ .
Вычтя первое уравнение из второго, найдите $x + y$ , затем подставьте в первое.

Решение

Вычтем уравнения: $12 = 0{,}12(x + y + 20)$ , откуда $x + y + 20 = 100$ , $x + y = 80$ . Тогда $0{,}5x + 0{,}3(80 - x) = 0{,}34 \cdot 100 = 34$ , откуда $x = 50$ . Ответ: 50.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

Смешав 70-процентный и 15-процентный растворы кислоты и добавив 20 кг чистой воды, получили 23-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 20 кг воды добавили 20 кг 40-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 31-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 70-процентного раствора использовали для получения смеси?

Подсказки

Пусть взяли $x$ кг 70-процентного и $y$ кг 15-процентного раствора. Масса смеси в обоих случаях $x + y + 20$ .
Кислоты в первом случае: $0{,}7x + 0{,}15y = 0{,}23(x + y + 20)$ ; во втором добавилось $8$ кг кислоты: $0{,}7x + 0{,}15y + 8 = 0{,}31(x + y + 20)$ .
Вычтя первое уравнение из второго, найдите $x + y$ , затем подставьте в первое.

Решение

Вычтем уравнения: $8 = 0{,}08(x + y + 20)$ , откуда $x + y + 20 = 100$ , $x + y = 80$ . Тогда $0{,}7x + 0{,}15(80 - x) = 0{,}23 \cdot 100 = 23$ , откуда $x = 20$ . Ответ: 20.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: повышенная

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

за $3$ золотые монеты получить $3$ серебряные и одну медную;
за $4$ серебряные монеты получить $3$ золотые монеты и одну медную.

У Маши были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у неё стало меньше, золотых не появилось, зато появилось $52$ медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет?

Подсказки

Пусть первую операцию сделали $x$ раз, вторую — $y$ раз. Каждая операция даёт одну медную монету.
Медных: $x + y = 52$ . Золото: получено $3y$ , отдано $3x$ , а в итоге золотых нет: $3y = 3x$ .
Найдите $x$ и $y$ из системы, затем изменение серебра: получено $3x$ , отдано $4y$ .

Решение

Пусть первая операция выполнена $x$ раз, вторая — $y$ раз. Тогда $x + y = 52$ и $3x = 3y$ , откуда $x = 26$ , $y = 26$ . Серебряных монет получено $3 \cdot 26 = 78$ , отдано $4 \cdot 26 = 104$ , их стало меньше на $104 - 78 = 26$ . Ответ: 26.

Решить в Telegram