Задание 21 ЕГЭ база по математике: задача на смекалку

ЕГЭ по математике (база) · задание 21 · часть 1, краткий ответ · до 1 балла. В банке «Корень» — 85 задач этого номера: вычисления, комбинаторика, прогрессии, системы уравнений, линейные уравнения.

Формулы к заданию 21

Теория чисел: приёмы

$f\le M\ \text{и пример с } f=M\ \Rightarrow\ \max f=M$ — схема «оценка плюс пример»: нужны обе части, иначе ответ не доказан
$xy=N\ \Rightarrow\ (d,\ N/d)$ — пары множителей перебирают по делителям $d\le\sqrt{N}$ , не забывая про отрицательные при целых $x$ , $y$
$xy+px+qy=c\iff(x+q)(y+p)=c+pq$ — разложение на множители для целых решений
$a\mid x\ \text{и}\ a\mid y\Rightarrow a\mid(x\pm y)$ — делимость суммы и разности; если $a\mid x$ , $a\nmid y$ , то $a\nmid(x+y)$
$x=x_0+\dfrac{b}{d}t,\quad y=y_0-\dfrac{a}{d}t$ — все целые решения $ax+by=c$ по частному решению $(x_0,y_0)$ , $d=\text{НОД}(a,b)$ , $t\in\mathbb{Z}$

Примеры с решениями

Условия — в стиле заданий ФИПИ. Сначала попробуйте решить сами, потом откройте подсказки и решение.

Пример 1

сложность: базовая

Один распил бревна занимает $7$ минут. За сколько минут бревно распилят на $6$ частей?

Подсказки

Сколько распилов нужно, чтобы получить нужное число частей?
Каждый распил добавляет одну часть: из одного бревна после $m$ распилов получается $m + 1$ часть.
Распилов нужно $6 - 1$ ; умножьте на время одного распила.

Решение

Чтобы получить $6$ частей, нужно $5$ распилов, на них уйдёт $5 \cdot 7 = 35$ минут. Ответ: 35.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

Альпинист за день поднимается по отвесной стене на $30$ м, а за ночь спускается на $20$ м. Высота стены $100$ м. За сколько дней альпинист впервые доберётся до верха стены, если начинает подъём утром от самого низа?

Подсказки

За сутки (день и ночь) подъём составляет разность дневного подъёма и ночного спуска. Но в последний день спускаться уже не придётся.
За сутки — $30 - 20 = 10$ м. Достаточно, чтобы к утру последнего дня до цели оставалось не больше $30$ м.
Нужно, чтобы к утру было пройдено не меньше $100 - 30$ м; найдите, сколько для этого нужно полных суток, и прибавьте последний день.

Решение

За полные сутки подъём равен $30 - 20 = 10$ м. В последний день достаточно подняться на $30$ м, поэтому к его утру нужно пройти не меньше $100 - 30 = 70$ м. Это произойдёт через $7$ суток (к утру 8-го дня пройдено $70$ м), и в 8-й день цель будет достигнута. Ответ: 8.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

за $3$ золотые монеты получить $3$ серебряные и одну медную;
за $4$ серебряные монеты получить $3$ золотые монеты и одну медную.

У Маши были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у неё стало меньше, золотых не появилось, зато появилось $52$ медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет?

Подсказки

Пусть первую операцию сделали $x$ раз, вторую — $y$ раз. Каждая операция даёт одну медную монету.
Медных: $x + y = 52$ . Золото: получено $3y$ , отдано $3x$ , а в итоге золотых нет: $3y = 3x$ .
Найдите $x$ и $y$ из системы, затем изменение серебра: получено $3x$ , отдано $4y$ .

Решение

Пусть первая операция выполнена $x$ раз, вторая — $y$ раз. Тогда $x + y = 52$ и $3x = 3y$ , откуда $x = 26$ , $y = 26$ . Серебряных монет получено $3 \cdot 26 = 78$ , отдано $4 \cdot 26 = 104$ , их стало меньше на $104 - 78 = 26$ . Ответ: 26.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

В первом ряду кинозала $25$ мест, а в каждом следующем ряду на $1$ место больше, чем в предыдущем. Сколько мест в зале, если в нём $7$ рядов?

Подсказки

Числа мест в рядах образуют арифметическую прогрессию.
В последнем ряду $25 + 6 \cdot 1 = 31$ место.
Сумма арифметической прогрессии: полусумма первого и последнего членов, умноженная на число членов.

Решение

В последнем ряду $31$ место. Всего $\dfrac{25 + 31}{2} \cdot 7 = 196$ мест. Ответ: 196.

Решить в Telegram

Пример 5

сложность: средняя

Турист в первый день прошёл $11$ км, а в каждый следующий день проходил на $1$ км больше, чем в предыдущий. За сколько дней он прошёл весь маршрут длиной $116$ км?

Подсказки

Расстояния по дням образуют арифметическую прогрессию.
Первый член $11$ , разность $1$ . Сумма $n$ членов: $S_n = \dfrac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n$ .
Можно просто складывать по дням: $11$ , $12$ , $13$ , … пока сумма не станет $116$ .

Решение

За $n$ дней турист проходит $\dfrac{2 \cdot 11 + (n - 1) \cdot 1}{2} \cdot n$ км. При $n = 8$ : $\dfrac{22 + 7}{2} \cdot 8 = 116$ км. Ответ: 8.

Решить в Telegram