Решать в Telegram

Квадратичная функция: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «квадратичная функция» встречается в 5 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ОГЭ). В банке «Корень» — 91 задача по этой теме.

Где встречается

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: базовая

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Формулы:

  1. y=−x2−4x−3y = -x^{2} - 4x - 3

  2. y=−4xy = -\dfrac{4}{x}

  3. y=2x−1y = 2x - 1

В ответ запишите номера формул, соответствующих графикам А, Б, В (без пробелов).

Подсказки
  1. Определите вид каждой формулы: линейная функция — прямая, квадратичная — парабола, y=kxy = \dfrac{k}{x} — гипербола.
  2. Формула 1: парабола, ветви направлены вниз, вершина в точке (−2; 1)(-2;\,1). Найдите график с этими свойствами.
  3. Формула 2: гипербола, ветви во II и IV четвертях, проходит через точку (1; −4)(1;\,-4); формула 3: прямая, возрастает, пересекает ось yy в точке (0; −1)(0;\,-1).
Решение

А — формула 2: гипербола, ветви во II и IV четвертях, проходит через точку (1; −4)(1;\,-4). Б — формула 1: парабола, ветви направлены вниз, вершина в точке (−2; 1)(-2;\,1). В — формула 3: прямая, возрастает, пересекает ось yy в точке (0; −1)(0;\,-1). Ответ: 213.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

На рисунке изображён график функции f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c. Найдите f(−8)f(-8).

Подсказки
  1. Удобно записать функцию через вершину: f(x)=a(x−x0)2+y0f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0.
  2. Вершина — (−2; −2)(-2;\ -2); по ещё одной отмеченной точке найдите aa.
  3. a=−2a = -2. Подставьте x=−8x = -8 в f(x)=−2(x+2)2−2f(x) = -2(x + 2)^2 - 2.
Решение

Вершина параболы — (−2; −2)(-2;\ -2), при сдвиге на 1 от вершины значение меняется на −2-2, поэтому a=−2a = -2 и f(x)=−2(x+2)2−2=−2x2−8x−10f(x) = -2(x + 2)^2 - 2 = -2x^{2} - 8x - 10. Тогда f(−8)=−2⋅(−6)2−2=−74f(-8) = -2 \cdot (-6)^2 - 2 = -74. Ответ: −74.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

На рисунке изображены графики функций f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c и g(x)=kx+mg(x) = kx + m, которые пересекаются в точках AA и BB. Найдите абсциссу точки BB.

Подсказки
  1. Найдите по рисунку коэффициенты обеих функций: у параболы видна вершина, у прямой — две точки с целыми координатами.
  2. Парабола: вершина (1; −4)(1;\ -4), a=1a = 1. Прямая проходит через A(2; −3)A(2;\ -3) и (0; 3)(0;\ 3).
  3. f(x)=x2−2x−3f(x) = x^{2} - 2x - 3, g(x)=−3x+3g(x) = -3x + 3. Решите f(x)=g(x)f(x) = g(x); один корень — абсцисса точки AA, x=2x = 2.
Решение

По рисунку f(x)=(x−1)2−4=x2−2x−3f(x) = (x - 1)^2 - 4 = x^{2} - 2x - 3, а g(x)=−3x+3g(x) = -3x + 3 (прямая через (2; −3)(2;\ -3) и (0; 3)(0;\ 3)). Уравнение f(x)=g(x)f(x) = g(x): x2+x−6=0x^{2} + x - 6 = 0. Один корень x=2x = 2 (точка AA), по теореме Виета второй x=−3x = -3. Ответ: −3.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Формулы:

  1. y=3xy = \dfrac{3}{x}

  2. y=−x2−4x−5y = -x^{2} - 4x - 5

  3. y=12x+1y = \dfrac{1}{2}x + 1

В ответ запишите номера формул, соответствующих графикам А, Б, В (без пробелов).

Подсказки
  1. Определите вид каждой формулы: линейная функция — прямая, квадратичная — парабола, y=kxy = \dfrac{k}{x} — гипербола.
  2. Формула 1: гипербола, ветви во I и III четвертях, проходит через точку (1; 3)(1;\,3). Найдите график с этими свойствами.
  3. Формула 2: парабола, ветви направлены вниз, вершина в точке (−2; −1)(-2;\,-1); формула 3: прямая, возрастает, пересекает ось yy в точке (0; 1)(0;\,1).
Решение

А — формула 1: гипербола, ветви во I и III четвертях, проходит через точку (1; 3)(1;\,3). Б — формула 2: парабола, ветви направлены вниз, вершина в точке (−2; −1)(-2;\,-1). В — формула 3: прямая, возрастает, пересекает ось yy в точке (0; 1)(0;\,1). Ответ: 123.

Решить в Telegram