Наибольшее и наименьшее значение: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «наибольшее и наименьшее значение» встречается в 4 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база). В банке «Корень» — 138 задач по этой теме.

Где встречается

ЕГЭ профиль, задание 12: Наибольшее и наименьшее — 112 задач
ЕГЭ профиль, задание 16: Финансовая задача — 2 задачи
ЕГЭ профиль, задание 18: Параметр — 1 задача
ЕГЭ база, задание 7: Графики и производная — 23 задачи

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: базовая

Найдите точку минимума функции $y = x^{3} + 6x^{2} + 9x - 14$ .

Подсказки

В точке минимума производная меняет знак с «−» на «+».
$y' = 3x^{2} + 12x + 9$ . Найдите её нули.
Нули производной: $x = -3$ и $x = -1$ . Определите знаки $y'$ на промежутках между ними.

Решение

$y' = 3x^{2} + 12x + 9$ , нули $x = -3$ и $x = -1$ . Знаки производной на промежутках $(-\infty;\ -3)$ , $(-3;\ -1)$ , $(-1;\ +\infty)$ : «+», «−», «+». Точка минимума — $x = -1$ . Ответ: −1.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

На рисунке изображён график функции $y = f(x)$ и отмечены точки A, B, C и D на оси $Ox$ . Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристику значений функции и её производной.

Точки	Характеристики
A	1) значение производной функции в точке отрицательно
B	2) значение производной в точке равно нулю, а значение функции отрицательно
C	3) значение производной в точке равно нулю, а значение функции положительно
D	4) значение производной функции в точке положительно

В ответ запишите номера характеристик, соответствующих точкам A, B, C, D, подряд без пробелов.

Подсказки

Производная равна нулю в точках экстремума (вершины графика); в остальных точках её знак определяет возрастание или убывание функции.
Точка A: вершина графика выше оси $Ox$ : касательная горизонтальна, значение функции положительно.
Точка B: вершина графика ниже оси $Ox$ : касательная горизонтальна, значение функции отрицательно; точка C: функция убывает, поэтому производная отрицательна; точка D: функция возрастает, поэтому производная положительна.

Решение

A: вершина графика выше оси $Ox$ : касательная горизонтальна, значение функции положительно — характеристика 3. B: вершина графика ниже оси $Ox$ : касательная горизонтальна, значение функции отрицательно — характеристика 2. C: функция убывает, поэтому производная отрицательна — характеристика 1. D: функция возрастает, поэтому производная положительна — характеристика 4. Ответ: 3214.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

Найдите точку максимума функции $y = (x^{2} + 14x + 46)e^{-1 - x}$ .

Подсказки

Производная произведения: $(uv)' = u'v + uv'$ . Множитель $e^{\ldots}$ положителен и знак производной не меняет.
$y' = -(x^{2} + 12x + 32)e^{-1 - x}$ .
Нули производной: $x = -8$ и $x = -4$ . Определите, где производная меняет знак с «+» на «−».

Решение

$y' = (2x + 14)e^{-1 - x} - (x^{2} + 14x + 46)e^{-1 - x} = -(x^{2} + 12x + 32)e^{-1 - x}$ , нули $x = -8$ и $x = -4$ . Знаки производной: «−», «+», «−». Точка максимума — $x = -4$ . Ответ: −4.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

Найдите точку максимума функции $y = 2x^{3} - 30x^{2} + 126x - 21$ .

Подсказки

В точке максимума производная меняет знак с «+» на «−».
$y' = 6x^{2} - 60x + 126$ . Найдите её нули.
Нули производной: $x = 3$ и $x = 7$ . Определите знаки $y'$ на промежутках между ними.

Решение

$y' = 6x^{2} - 60x + 126$ , нули $x = 3$ и $x = 7$ . Знаки производной на промежутках $(-\infty;\ 3)$ , $(3;\ 7)$ , $(7;\ +\infty)$ : «+», «−», «+». Точка максимума — $x = 3$ . Ответ: 3.

Решить в Telegram