Показательные уравнения: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «показательные уравнения» встречается в 6 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база). В банке «Корень» — 47 задач по этой теме.

Где встречается

ЕГЭ профиль, задание 6: Простейшие уравнения — 19 задач
ЕГЭ профиль, задание 11: Графики функций — 2 задачи
ЕГЭ профиль, задание 13: Уравнения — 3 задачи
ЕГЭ профиль, задание 15: Неравенства — 7 задач
ЕГЭ профиль, задание 18: Параметр — 1 задача
ЕГЭ база, задание 17: Уравнения — 15 задач

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: базовая

Найдите корень уравнения $5^{-x + 3} = 1$ .

Подсказки

Запишите правую часть как степень с тем же основанием, что и слева.
$1 = 5^{0}$ . Если основания равны, равны и показатели.
Решите линейное уравнение $-x + 3 = 0$ .

Решение

$1 = 5^{0}$ , поэтому $-x + 3 = 0$ , откуда $x = 3$ . Ответ: 3.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

Найдите корень уравнения $5^{x + 2} = \frac{1}{25}$ .

Подсказки

Запишите правую часть как степень с тем же основанием, что и слева.
$\frac{1}{25} = 5^{-2}$ . Если основания равны, равны и показатели.
Решите линейное уравнение $x + 2 = -2$ .

Решение

$\frac{1}{25} = 5^{-2}$ , поэтому $x + 2 = -2$ , откуда $x = -4$ . Ответ: −4.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

На рисунке изображён график функции $f(x) = a^{x + b}$ . Найдите значение $x$ , при котором $f(x) = 64$ .

Подсказки

Найдите по рисунку $b$ (там, где функция равна 1, показатель равен нулю) и $a$ (по соседним точкам).
$f(x) = 2^{x + 1}$ . Запишите 64 как степень числа 2.
Приравняйте показатели степеней.

Решение

Значение $1$ функция принимает при $x + b = 0$ ; на рисунке это точка $(-1;\ 1)$ , поэтому $b = 1$ . Соседняя точка графика показывает, что $a = 2$ , и $f(x) = 2^{x + 1}$ . Уравнение $2^{x + 1} = 64 = 2^{6}$ даёт $x + 1 = 6$ , $x = 5$ . Ответ: 5.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

Найдите корень уравнения $4^{x + 5} = 4$ .

Подсказки

Запишите правую часть как степень с тем же основанием, что и слева.
$4 = 4^{1}$ . Если основания равны, равны и показатели.
Решите линейное уравнение $x + 5 = 1$ .

Решение

$4 = 4^{1}$ , поэтому $x + 5 = 1$ , откуда $x = -4$ . Ответ: −4.

Решить в Telegram