Решать в Telegram

Тригонометрические тождества: как решать на ЕГЭ и ОГЭ

Тема «тригонометрические тождества» встречается в 3 заданиях экзаменов (ЕГЭ профиль, ЕГЭ база). В банке «Корень» — 72 задачи по этой теме.

Где встречается

Формулы

Примеры с решениями

Пример 1

сложность: базовая

Найдите значение выражения 26sin⁡14∘⋅cos⁡14∘sin⁡28∘\dfrac{26\sin 14^\circ \cdot \cos 14^\circ}{\sin 28^\circ}.

Подсказки
  1. Синус двойного угла: sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x\cos x.
  2. sin⁡28∘=2sin⁡14∘cos⁡14∘\sin 28^\circ = 2\sin 14^\circ \cos 14^\circ.
  3. Сократите дробь: останется 262\dfrac{26}{2}.
Решение

26sin⁡14∘cos⁡14∘2sin⁡14∘cos⁡14∘=262=13\dfrac{26\sin 14^\circ \cos 14^\circ}{2\sin 14^\circ \cos 14^\circ} = \dfrac{26}{2} = 13. Ответ: 13.

Решить в Telegram

Пример 2

сложность: средняя

Найдите значение выражения 6cos⁡α+5sin⁡α4sin⁡α+4cos⁡α\dfrac{6\cos\alpha + 5\sin\alpha}{4\sin\alpha + 4\cos\alpha}, если tg⁡α=4\operatorname{tg}\alpha = 4.

Подсказки
  1. Разделите числитель и знаменатель на cos⁡α\cos\alpha (он не равен нулю, раз тангенс определён).
  2. Получится 6+5tg⁡α4tg⁡α+4\dfrac{6 + 5\operatorname{tg}\alpha}{4\operatorname{tg}\alpha + 4}.
  3. Подставьте tg⁡α=4\operatorname{tg}\alpha = 4.
Решение

Разделим числитель и знаменатель на cos⁡α\cos\alpha: 6+5⋅44⋅4+4=2620=1,3\dfrac{6 + 5 \cdot 4}{4 \cdot 4 + 4} = \dfrac{26}{20} = 1{,}3. Ответ: 1,3.

Решить в Telegram

Пример 3

сложность: повышенная

Найдите значение выражения 5sin⁡2α−5sin⁡αcos⁡αsin⁡2α−6cos⁡2α\dfrac{5\sin^2\alpha - 5\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha - 6\cos^2\alpha}, если tg⁡α=3\operatorname{tg}\alpha = 3.

Подсказки
  1. Числитель и знаменатель однородны по sin⁡α\sin\alpha и cos⁡α\cos\alpha: разделите их на cos⁡2α≠0\cos^2\alpha \ne 0.
  2. Получится 5tg⁡2α−5tg⁡αtg⁡2α−6\dfrac{5\operatorname{tg}^2\alpha - 5\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{tg}^2\alpha - 6}, так как sin⁡αcos⁡α=tg⁡α\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha.
  3. Подставьте tg⁡α=3\operatorname{tg}\alpha = 3.
Решение

Разделим числитель и знаменатель на cos⁡2α\cos^2\alpha: 5tg⁡2α−5tg⁡αtg⁡2α−6=303=10\dfrac{5\operatorname{tg}^2\alpha - 5\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{tg}^2\alpha - 6} = \dfrac{30}{3} = 10. Ответ: 10.

Решить в Telegram

Пример 4

сложность: базовая

Найдите значение выражения 12sin⁡30∘⋅cos⁡30∘sin⁡60∘\dfrac{12\sin 30^\circ \cdot \cos 30^\circ}{\sin 60^\circ}.

Подсказки
  1. Синус двойного угла: sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x\cos x.
  2. sin⁡60∘=2sin⁡30∘cos⁡30∘\sin 60^\circ = 2\sin 30^\circ \cos 30^\circ.
  3. Сократите дробь: останется 122\dfrac{12}{2}.
Решение

12sin⁡30∘cos⁡30∘2sin⁡30∘cos⁡30∘=122=6\dfrac{12\sin 30^\circ \cos 30^\circ}{2\sin 30^\circ \cos 30^\circ} = \dfrac{12}{2} = 6. Ответ: 6.

Решить в Telegram